试题

题目：
青果学院如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和ADE摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠ADE=90°，若△ABC固定不动，△ADE绕点A旋转，AD、AE与边BC的交点分别为F、G（点G不与点B重合，点F不与点C重合）．
（1）图中共有
3
3
对相似三角形．（△ABC∽△DEA外）
（2）请选其中的一对说明理由．
（3）若等腰直角三角形的斜边长为2，BF=m，CG=n、求m与n的函数关系式，并直接写出自变量n的取值范围．
答案
3

解：（1）依题意可知，△ABF∽△GAF，△GCA∽△GAF；再根据相似三角形的传递性，可得△ABF∽△GCA；
故本题答案为：3；

（2）证明：
∵△ABC与△ADE是全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠E=∠EAD=45°，
∵∠AFB=∠AFG，∠AGF=∠BAF，
∴△ABF∽△GAF，△GCA∽△GAF，
∴△ABF∽△GCA．

（3）由△ABF∽△GCA，
∴
BF
CA
=
BA
CG
，
由依题意可知CA=BA=
2
，
∴
m
2
=
2
n
，
∴m=
2
n
，
∵m＜2，
∴n＞1，
∴自变量n的取值范围为1＜n＜2．
考点梳理
相似三角形的判定；等腰直角三角形．
（1）（2）因为△ABC与△ADE是全等的等腰三角形，所以可得：∠B=∠C=∠E=∠EAD=45°，在△ABF与△GAF中∠AFB是公共角，在△AGC与△CGA中∠AGF是公共角，根据相似三角形的判定定理：有两个角分别对应相等的三角形相似，可得△ABF∽△GAF，△GCA∽△GAF；再根据相似三角形的传递性，可得△ABF∽△GCA；
（3）由勾股定理可得CA=BA=
2
，根据相似三角形的对应边成比例，可得
BF
CA
=
BA
CG
，即可求得m与n的函数关系式，根据题意可得自变量n的取值范围．
此题考查了相似三角形的判定（有两个角分别对应相等的三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例），还考查了勾股定理．解此题的关键是要注意数形结合思想的应用．
数形结合．
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