试题

如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．

解：（1）若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，
∴

AD

BP

=

AP

BC

，
∴

2

7-AP

=

AP

3

，
∴AP²-7AP+6=0，
∴AP=1或AP=6，
检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，
∴

AP

BC

=

AD

BP

，
又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．
当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．

（2）若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．
∴

AP

BP

=

AD

BC

，∴

AP

7-AP

=

2

3

，∴AP=

14

5

．
检验：当AP=

14

5

时，由BP=

21

5

，AD=2，BC=3，
∴

AP

BP

=

AD

BC

，
又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．
因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、

14

5

、6处．
解：（1）若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，
∴

AD

BP

=

AP

BC

，
∴

2

7-AP

=

AP

3

，
∴AP²-7AP+6=0，
∴AP=1或AP=6，
检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，
∴

AP

BC

=

AD

BP

，
又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．
当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．

（2）若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．
∴

AP

BP

=

AD

BC

，∴

AP

7-AP

=

2

3

，∴AP=

14

5

．
检验：当AP=

14

5

时，由BP=

21

5

，AD=2，BC=3，
∴

AP

BP

=

AD

BC

，
又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．
因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、

14

5

、6处．