试题

如图，已知抛物线与x交于A（-1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．
（3）若点P为第一象限抛物线上一动点，连接BP、PE，求四边形ABPE面积的最大值，并求此时P点的坐标．

解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax²+bx+3，
根据题意得：

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得：

a=-1 b=2

，
∴抛物线的解析式是y=-x²+2x+3．
解法二、∵设解析式是y=a（x-3）（x+1），
把B（0，3）代入得：3=a（0-3）（0+1），
a=-1，
即y=-1（x-3）（x+1）=-x²+2x+3，
∴抛物线的解析式是y=-x²+2x+3．

（2）相似，
证明：过D作DF⊥x轴于F，过B作BG⊥DF于G，
如图，BD=

BG2+DG2

=

12+12

=

2

，BE=

BO2+OE2

=

32+32

=3

2

，
DE=

DF2+EF2

=

22+42

=2

5

，
∴BD²+BE²=20，DE²=20，
∴DB²+BE²=DE²，
∴△BDE是直角三角形，
∴∠AOB=∠DBE=90°，且

AO

BD

=

BO

BE

=

2

2

，
∴△AOB∽△DBE．

（3）解：设点P的坐标为（x，y），过P作PQ⊥X轴于Q，
则SABPE=S△ABO+SBOQP+S△PQE=

1

2

×1×3+

1

2

×(3+y)×x+

1

2

×y×(3-x)=-

3

2

x2+

9

2

x+6=-

3

2

(x-

3

2

)2+9

3

8

，
当x=

3

2

时，四边形ABPE面积最大，
此时，点P的坐标为(

3

2

，

15

4

)．
解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax²+bx+3，
根据题意得：

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得：

a=-1 b=2

，
∴抛物线的解析式是y=-x²+2x+3．
解法二、∵设解析式是y=a（x-3）（x+1），
把B（0，3）代入得：3=a（0-3）（0+1），
a=-1，
即y=-1（x-3）（x+1）=-x²+2x+3，
∴抛物线的解析式是y=-x²+2x+3．

（2）相似，
证明：过D作DF⊥x轴于F，过B作BG⊥DF于G，
如图，BD=

BG2+DG2

=

12+12

=

2

，BE=

BO2+OE2

=

32+32

=3

2

，
DE=

DF2+EF2

=

22+42

=2

5

，
∴BD²+BE²=20，DE²=20，
∴DB²+BE²=DE²，
∴△BDE是直角三角形，
∴∠AOB=∠DBE=90°，且

AO

BD

=

BO

BE

=

2

2

，
∴△AOB∽△DBE．

（3）解：设点P的坐标为（x，y），过P作PQ⊥X轴于Q，
则SABPE=S△ABO+SBOQP+S△PQE=

1

2

×1×3+

1

2

×(3+y)×x+

1

2

×y×(3-x)=-

3

2

x2+

9

2

x+6=-

3

2

(x-

3

2

)2+9

3

8

，
当x=

3

2

时，四边形ABPE面积最大，
此时，点P的坐标为(

3

2

，

15

4

)．