试题

题目：
将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，B青果学院C=AD=4，AC与BD相交于点E，连接CD．
（1）填空：如图，AC=
4
3
4
3
，BD=
4
3
4
3
；四边形ABCD是
等腰
等腰
梯形．
（2）请写出图中所有的相似三角形（不含全等三角形）．
答案
4
3

4
3

等腰

解：（1）根据题意得：DC∥AB，∠ADB=∠ACB=90°，∠ABD=∠CAB=30°，
∵AB=8，BC=AD=4，
∴AC=BD=4
3
，∠DAB=∠CBA=60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形；

（2）相似三角形有：△DCE∽△ABE，△DCE∽△DBC，△ABE∽△CDE，△DBC∽△ABE，△DEA∽△DAB，△DEA∽△CBA，△CEB∽△DAB，△CEB∽△CBA．
考点梳理
相似三角形的判定；含30度角的直角三角形；等腰梯形的判定．
（1）首先根据题意得：DC∥AB，∠ADB=∠ACB=90°，∠ABD=∠CAB=30°，然后由勾股定理，求得AC与BD的长，即可证得四边形ABCD是等腰梯形．
（2）根据两内角对应相等的三角形相似，即可证得．
此题考查了相似三角形的判定与等腰梯形的判定，以及直角三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
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