试题

题目：
青果学院（2013·河东区二模）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，且BC=OB，CE与⊙O交于点D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，连接AD，∠DAC=∠C．
（Ⅰ）求证：直线CE是⊙O的切线．
（Ⅱ）求
CD
DE
的值．
答案
青果学院解：（Ⅰ）∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DAC=∠C，
∴AD=CD，
∵BC=OB，
∴AB=OC，
在△ADB和△COD中，
DA=DC
∠DAC=∠C
AB=CO
，
∴△ADB≌△COD（SAS），
∴∠ADB=∠ODC=90°，
则直线CE是圆O的切线；
（Ⅱ）由第一问得到OD⊥CE，
又∵AE⊥CE，
∴OD∥AE，
∴
CD
DE
=
OC
OA
，
∵BC=OB=
1
2
OC，OA=OB，
∴
CD
DE
=
OC
OA
=
OC
OB
=
2
1
=2．
青果学院解：（Ⅰ）∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DAC=∠C，
∴AD=CD，
∵BC=OB，
∴AB=OC，
在△ADB和△COD中，
DA=DC
∠DAC=∠C
AB=CO
，
∴△ADB≌△COD（SAS），
∴∠ADB=∠ODC=90°，
则直线CE是圆O的切线；
（Ⅱ）由第一问得到OD⊥CE，
又∵AE⊥CE，
∴OD∥AE，
∴
CD
DE
=
OC
OA
，
∵BC=OB=
1
2
OC，OA=OB，
∴
CD
DE
=
OC
OA
=
OC
OB
=
2
1
=2．
考点梳理
切线的判定；平行线分线段成比例．
（Ⅰ）连接OD，BD，由AB为圆的直径，得到∠ADB为直角，再由∠DAC=∠C，利用等角对等边得到AD=CD，根据BC=OB，得到AB=OC，得到三角形ADB与三角形COD全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ADB=∠CDO=90°，即可确定出直线CE是圆O的切线；
（Ⅱ）由第一问得到OD垂直于EC，再由AE垂直于CE，得到AE与OD平行，由平行得比例，根据BC=OB=
1
2
OC，且OA=OB，等量代换即可得到所求式子的值．
此题考查了切线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
计算题．
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