试题

题目：
青果学院（2003·陕西）如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA到E，使AE=AB，连接ED．
（1）求证：直线ED是⊙O的切线；
（2）连接EO交AD于点F，求证：EF=2FO．
答案
青果学院证明：（1）连接OD．
∵四边形ABCD为正方形，AE=AB．
∴AE=AB=AD，∠EAD=∠DAB=90°，
∴∠EDA=45°，∠ODA=45°，
∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，
∴直线ED是⊙O的切线．

（2）作OM⊥AB于M，
∵O为正方形的中心，
∴M为AB中点，
∴AE=AB=2AM，AF∥OM，
∴
EF
FO
=
AE
AM
=2，
∴EF=2FO．
青果学院证明：（1）连接OD．
∵四边形ABCD为正方形，AE=AB．
∴AE=AB=AD，∠EAD=∠DAB=90°，
∴∠EDA=45°，∠ODA=45°，
∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，
∴直线ED是⊙O的切线．

（2）作OM⊥AB于M，
∵O为正方形的中心，
∴M为AB中点，
∴AE=AB=2AM，AF∥OM，
∴
EF
FO
=
AE
AM
=2，
∴EF=2FO．
考点梳理
正多边形和圆；切线的判定；平行线分线段成比例．
（1）连接OD，只需证明OD⊥DE．根据正方形的性质得到AE=AD，则∠ADE=45°．又∠ADO=45°则证明了结论；
（2）作OM⊥AB于M．根据平行线分线段成比例定理进行证明．
综合运用正多边形的性质和平行线分线段成比例定理．
几何综合题．
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