试题

题目：
青果学院（2004·湖州）已知如图，A是⊙O的直径CB延长线上一点，BC=2AB，割线AF交⊙O于E、F，D是OB的中点，且DE⊥AF，连接BE、DF．
（1）试判断BE与DF是否平行？请说明理由；
（2）求AE：EC的值．
答案
青果学院解：（1）BE与DF不平行（1分）
理由：过O作OM⊥EF，垂足为M，则EM=MF
∵DE⊥AE，∴DE∥OM
∴AE：AM=AD：AO=3：4                         （1分）
∴AE：AF=3：5
∵AB：AD=2：3
∴AE：AF≠AB：AD
∴BE与DF不平行；

（2）取AE的中点P，连接DP交BE于Q
∵D是AC的中点，P是AE的中点
∴DP∥CE
∵BE⊥EC，∴BE⊥DQ
由DQ∥CE，得
DQ
CE
=
BD
BC
=
1
4
，又
DP
CE
=
1
2

∴DP=2DQ即DQ=PQ，又BE⊥DP
∴BE是DP的中垂线
∴EP=ED                                       （2分）
∵∠AED=90°，
∴△EDP是等腰直角三角形
∴DP=
2
EP
∴AE：EC=2EP：2DP=1：
2
．（1分）
青果学院解：（1）BE与DF不平行（1分）
理由：过O作OM⊥EF，垂足为M，则EM=MF
∵DE⊥AE，∴DE∥OM
∴AE：AM=AD：AO=3：4                         （1分）
∴AE：AF=3：5
∵AB：AD=2：3
∴AE：AF≠AB：AD
∴BE与DF不平行；

（2）取AE的中点P，连接DP交BE于Q
∵D是AC的中点，P是AE的中点
∴DP∥CE
∵BE⊥EC，∴BE⊥DQ
由DQ∥CE，得
DQ
CE
=
BD
BC
=
1
4
，又
DP
CE
=
1
2

∴DP=2DQ即DQ=PQ，又BE⊥DP
∴BE是DP的中垂线
∴EP=ED                                       （2分）
∵∠AED=90°，
∴△EDP是等腰直角三角形
∴DP=
2
EP
∴AE：EC=2EP：2DP=1：
2
．（1分）
考点梳理
垂径定理；平行线分线段成比例．
（1）一般判断的结论大多数是肯定的，但这个是否定的．如图过O作OM⊥EF，垂足为M，则EM=MF，容易知道DE∥OM，根据平行线分线段成比例可以求出AE：AF=3：5，不等于AB：AD，所以BE与DF不平行；
（2）要求AE：EC，不能直接求出．由于D是AC的中点，取AE的中点，利用中位线定理进行转换，连接DP．根据已知条件和平行线分线段成比例可以证明△EDP是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可求出AE：EC．
此题比较难，主要利用平行线分线段成比例和中位线定理解题，也结合了等腰直角三角形的性质来求出比值．
几何综合题；压轴题．
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