试题

题目：
（2007·常德）如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F作FH∥CD交BC于H，可以证明结论
FH
AB
=
FG
BG
成立．（考生不必证明）
（1）探究：如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（2）计算：若菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°，G在直线CD上，且CG=16，连接BG交AC所在的直线于F，过F作FH∥CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长．
（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论
FH
AB
=
FG
BG
还成立吗？青果学院
答案
青果学院解：（1）结论
FH
AB
=
FG
BG
成立
证明：由已知易得FH∥AB，
∴
FH
AB
=
HC
BC
，
∵FH∥GC，
HC
BC
=
FG
BG

∴
FH
AB
=
FG
BG
．

（2）∵G在直线CD上，
∴分两种情况讨论如下：
①G在CD的延长线上时，DG=10，
如图1，过B作BQ⊥CD于Q，
由于四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴BC=AB=6，∠BCQ=60°，
∴BQ=3
3
，CQ=3，
∴BG=
192+(3
3
)2
=2
97
．
又由FH∥GC，可得
FH
GC
=
BH
BC
，
而△CFH是等边三角形，
∴BH=BC-HC=BC-FH=6-FH，
∴
FH
16
=
6-FH
6
，
∴FH=
48
11
，
由（1）知
FH
AB
=
FG
BG
，
∴FG=
FH·BG
AB
=
48
11
·
1
6
·2
97
=
16
11
97
．
②G在DC的延长线上时，CG=16，
如图2，过B作BQ⊥CG于Q，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴BC=AB=6，∠BCQ=60°．
∴BQ=3
3
，CQ=3．
∴BG=
132+(3
3
)2
=14．
又由FH∥CG，可得
FH
GC
=
BH
BC
，青果学院
∴
FH
16
=
BH
6
．
∵BH=HC-BC=FH-BC=FH-6，
∴FH=
48
5
．
∵FH∥CG，
∴
BF
BG
=
FH
CG
．
∴BF=14×
48
5
÷16=
42
5
．
∴FG=14+
42
5
=
112
5
．

（3）G在DC的延长线上时，
FH
AB
=
48
5
÷6=
8
5
，
FG
BG
=
112
5
÷14=
8
5
，
∴
FH
AB
=
FG
BG
成立．
结合上述过程，发现G在直线CD上时，结论
FH
AB
=
FG
BG
还成立．
青果学院解：（1）结论
FH
AB
=
FG
BG
成立
证明：由已知易得FH∥AB，
∴
FH
AB
=
HC
BC
，
∵FH∥GC，
HC
BC
=
FG
BG

∴
FH
AB
=
FG
BG
．

（2）∵G在直线CD上，
∴分两种情况讨论如下：
①G在CD的延长线上时，DG=10，
如图1，过B作BQ⊥CD于Q，
由于四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴BC=AB=6，∠BCQ=60°，
∴BQ=3
3
，CQ=3，
∴BG=
192+(3
3
)2
=2
97
．
又由FH∥GC，可得
FH
GC
=
BH
BC
，
而△CFH是等边三角形，
∴BH=BC-HC=BC-FH=6-FH，
∴
FH
16
=
6-FH
6
，
∴FH=
48
11
，
由（1）知
FH
AB
=
FG
BG
，
∴FG=
FH·BG
AB
=
48
11
·
1
6
·2
97
=
16
11
97
．
②G在DC的延长线上时，CG=16，
如图2，过B作BQ⊥CG于Q，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴BC=AB=6，∠BCQ=60°．
∴BQ=3
3
，CQ=3．
∴BG=
132+(3
3
)2
=14．
又由FH∥CG，可得
FH
GC
=
BH
BC
，青果学院
∴
FH
16
=
BH
6
．
∵BH=HC-BC=FH-BC=FH-6，
∴FH=
48
5
．
∵FH∥CG，
∴
BF
BG
=
FH
CG
．
∴BF=14×
48
5
÷16=
42
5
．
∴FG=14+
42
5
=
112
5
．

（3）G在DC的延长线上时，
FH
AB
=
48
5
÷6=
8
5
，
FG
BG
=
112
5
÷14=
8
5
，
∴
FH
AB
=
FG
BG
成立．
结合上述过程，发现G在直线CD上时，结论
FH
AB
=
FG
BG
还成立．
考点梳理
菱形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例．
（1）借助中间比进行证明，根据平行线分线段成比例定理分别证明两个比都等于
CH
BC
即可；
（2）首先应画出两个不同的图形进行分析．构造30°的直角三角形，然后计算两条直角边的长，在两种情况中，GQ=16+3=19或16-3=13，然后根据勾股定理计算BG的长，进一步根据比例式求得FG的长；
（3）成立，根据（2）中的过程，可以分别求得左右两个比，从而证明结论．
证明比例式的时候，可以利用相似或利用平行线分线段成比例定理进行证明．
综合题；压轴题．
找相似题