试题

（2008·绍兴）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动

2

3

秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示OP，OQ；
（2）当t=1时，如图1，将沿△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；
（3）连接AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．

解：（1）OP=6-t，OQ=t+

2

3

．


（2）当t=1时，过D点作DD₁⊥OA，交OA于D₁，如图1，
则DQ=QO=

5

3

，QC=

4

3

，
∴CD=1，
∴D（1，3）．

（3）①PQ能与AC平行．
若PQ∥AC，如图2，则

OP

OQ

=

OA

OC

，
即

6-t

t+ 2 3

=

6

3

，
∴t=

14

9

，而0≤t≤

7

3

，
∴t=

14

9

．
②PE不能与AC垂直．
若PE⊥AC，延长QE交OA于F，如图3，
则

QF

AC

=

OQ

OC

，

QF

3 5

=

t+ 2 3

3

，
∴QF=

5

(t+

2

3

)．
∴EF=QF-QE=QF-OQ=

5

(t+

2

3

)-(t+

2

3

)=(

5

-1)t+

2

3

(

5

-1)=（

5

-1）（t+

2

3

），
又∵Rt△EPF∽Rt△OCA，
∴

PE

EF

=

OC

OA

，
∴

6-t

( 5 -1)(t+ 2 3 )

=

3

6

，
∴t≈3.45，而0≤t≤

7

3

，
∴t不存在．
解：（1）OP=6-t，OQ=t+

2

3

．


（2）当t=1时，过D点作DD₁⊥OA，交OA于D₁，如图1，
则DQ=QO=

5

3

，QC=

4

3

，
∴CD=1，
∴D（1，3）．

（3）①PQ能与AC平行．
若PQ∥AC，如图2，则

OP

OQ

=

OA

OC

，
即

6-t

t+ 2 3

=

6

3

，
∴t=

14

9

，而0≤t≤

7

3

，
∴t=

14

9

．
②PE不能与AC垂直．
若PE⊥AC，延长QE交OA于F，如图3，
则

QF

AC

=

OQ

OC

，

QF

3 5

=

t+ 2 3

3

，
∴QF=

5

(t+

2

3

)．
∴EF=QF-QE=QF-OQ=

5

(t+

2

3

)-(t+

2

3

)=(

5

-1)t+

2

3

(

5

-1)=（

5

-1）（t+

2

3

），
又∵Rt△EPF∽Rt△OCA，
∴

PE

EF

=

OC

OA

，
∴

6-t

( 5 -1)(t+ 2 3 )

=

3

6

，
∴t≈3.45，而0≤t≤

7

3

，
∴t不存在．