试题

如图．点P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上的一个动点（P不与A，C重合）且PE=PB 
（1）求证：PE⊥PD．
（2）设AP=x，四边形PECD的面积为y，求出y与x的关系式，并写出自变量的取值范围．

（1）证明∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵PC=PC，
∴△PBC≌△PDC （SAS）．
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC．
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD；

（2）过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE．（如图3）
∵AP=x，AC=

2

，∠ACB=45°，PF⊥BC，
∴PC=

2

-x，PF=FC=1-

2

2

x，BF=FE=1-FC=1-（1-

2

2

x）=

2

2

x，
∴S_△PBE=

1

2

EB·FP=BF·PF=-

1

2

x²+

2

2

x，
∴四边形PECD的面积为y=2S_△BPC-S_△PBE=2S_△PBE=-x²+

2

x．
（1）证明∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵PC=PC，
∴△PBC≌△PDC （SAS）．
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC．
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD；

（2）过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE．（如图3）
∵AP=x，AC=

2

，∠ACB=45°，PF⊥BC，
∴PC=

2

-x，PF=FC=1-

2

2

x，BF=FE=1-FC=1-（1-

2

2

x）=

2

2

x，
∴S_△PBE=

1

2

EB·FP=BF·PF=-

1

2

x²+

2

2

x，
∴四边形PECD的面积为y=2S_△BPC-S_△PBE=2S_△PBE=-x²+

2

x．