试题

如图所示，等腰直角三角形△ABC的直角边AB=2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度做直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．
（1）设AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式．
（2）当AP的长为何值时S_△PCQ=S_△ABC．

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC=2．
∵P、Q速度相同，
∴AP=CQ=x，
当0≤x≤2时
S=

x(2-x)

2

=-

1

2

x²+x
当x＞2时，
S=

x(x-2)

2

=

1

2

x²-x，
∴S=

- 1 2 x2+x(0≤x≤2) 1 2 x2-x(x＞2)

；
（2）由题意，得
当-

1

2

x²+x=2时，
△＜0，原方程无解；

1

2

x²-x=2时
解得：x₁=1+

5

，x₂=1-

5

（舍去）
∴AP=1+

5

．
答：当AP=1+

5

时，S_△PCQ=S_△ABC．
解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC=2．
∵P、Q速度相同，
∴AP=CQ=x，
当0≤x≤2时
S=

x(2-x)

2

=-

1

2

x²+x
当x＞2时，
S=

x(x-2)

2

=

1

2

x²-x，
∴S=

- 1 2 x2+x(0≤x≤2) 1 2 x2-x(x＞2)

；
（2）由题意，得
当-

1

2

x²+x=2时，
△＜0，原方程无解；

1

2

x²-x=2时
解得：x₁=1+

5

，x₂=1-

5

（舍去）
∴AP=1+

5

．
答：当AP=1+

5

时，S_△PCQ=S_△ABC．