试题

如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（10，0），⊙P和⊙Q的半径分别为4和1．P从A开始在线段AO上以3单位/秒的速度移动，Q从OB的中点C开始在线段CO上以1单位/秒的速度移动，当其中一个点到达原点O时，另一点也随即停止运动．圆心移动时，圆也跟着移动．设点P和点Q运动的时间为t（秒）．如图2，当0＜t＜

10

3

时，设四边形APQB的面积为s．
（1）求s与t的函数关系式；
（2）如图3，当⊙P和⊙Q外切时，求s的值；
（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻，⊙P和⊙Q内切，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）依题意，得AP=3t，CQ=t．
∵点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（10，0），OB的中点C，
∴OP=OA-AP=10-3t，
OQ=OC-CQ=

1

2

OB-CQ
=

1

2

×10-t
=5-t，
∴S_{四边形APQB}=S_△OAB-S_△OPQ
=

1

2

OA·OB-

1

2

OP·OQ
=

1

2

×10×10-

1

2

（10-3t）（5-t），
∴S_{四边形APQB}=-

3

2

t2+

25

2

t+25．

（2）当⊙P和⊙Q外切时，PQ=4+1=5．
在Rt△OPQ中，OP²+OQ²=PQ²，
∴（10-3t）²+（5-t）²=25，
∴t=2或t=5（舍去），
当t=2时，
s=-

3

2

×22+

25

2

×2+25
=44，
当⊙P和⊙Q外切时，s=44．

（3）在运动的过程中，存在某一时刻，⊙P和⊙Q内切．
当⊙P和⊙Q内切时，PQ=4-1=3．
在Rt△OPQ中，OP²+OQ²=PQ²，
∴（10-3t）²+（5-t）²=9，
解得t=

35- 65

10

，
∴点P的坐标为（0，

3 65 -5

10

）．
解：（1）依题意，得AP=3t，CQ=t．
∵点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（10，0），OB的中点C，
∴OP=OA-AP=10-3t，
OQ=OC-CQ=

1

2

OB-CQ
=

1

2

×10-t
=5-t，
∴S_{四边形APQB}=S_△OAB-S_△OPQ
=

1

2

OA·OB-

1

2

OP·OQ
=

1

2

×10×10-

1

2

（10-3t）（5-t），
∴S_{四边形APQB}=-

3

2

t2+

25

2

t+25．

（2）当⊙P和⊙Q外切时，PQ=4+1=5．
在Rt△OPQ中，OP²+OQ²=PQ²，
∴（10-3t）²+（5-t）²=25，
∴t=2或t=5（舍去），
当t=2时，
s=-

3

2

×22+

25

2

×2+25
=44，
当⊙P和⊙Q外切时，s=44．

（3）在运动的过程中，存在某一时刻，⊙P和⊙Q内切．
当⊙P和⊙Q内切时，PQ=4-1=3．
在Rt△OPQ中，OP²+OQ²=PQ²，
∴（10-3t）²+（5-t）²=9，
解得t=

35- 65

10

，
∴点P的坐标为（0，

3 65 -5

10

）．