试题

如图，把一个圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），若每一个扇形的面积都是48πcm²，求：
（1）扇形的弧长；
（2）若另补上圆锥的底部，求圆锥的全面积；
（3）圆锥轴截面底角的正切值．

解：（1）如图：扇形的圆心角为：

1

3

×360°=120°，
根据题意得：S_扇形=

120×πR2

360

=48π（cm²），
∴R=12cm，
∴l_扇形=

120πR

180

=

120π×12

180

=8π（cm）；
∴扇形的弧长为：8πcm；

（2）∵8π=2πr，
∴r=4cm，
∴S_全=S_侧+S_底=48π+π×4²=64π（cm²）；
∴圆锥的全面积为64πcm²；

（3）∵h=

R2-r2

=

122-42

=8

2

，
∴tanα=

8 2

4

=2

2

．
∴圆锥轴截面底角的正切值为：2

2

．
解：（1）如图：扇形的圆心角为：

1

3

×360°=120°，
根据题意得：S_扇形=

120×πR2

360

=48π（cm²），
∴R=12cm，
∴l_扇形=

120πR

180

=

120π×12

180

=8π（cm）；
∴扇形的弧长为：8πcm；

（2）∵8π=2πr，
∴r=4cm，
∴S_全=S_侧+S_底=48π+π×4²=64π（cm²）；
∴圆锥的全面积为64πcm²；

（3）∵h=

R2-r2

=

122-42

=8

2

，
∴tanα=

8 2

4

=2

2

．
∴圆锥轴截面底角的正切值为：2

2

．