试题

如图，已知半径为18cm的圆形纸片，如果要在这张纸片上裁剪出一个扇形作为圆锥的侧面，一个圆作为圆锥的底面，试问该如何裁剪，能使圆锥的底面圆面积尽量大，并且扇形的弧长恰好与圆锥底面圆的周长相配套（即两者长度相等），求出这时圆锥的表面积．

解：若扇形的弧长与底面圆的周长长度相等，
则πx=

nπ×18

180

，即n=10x（0＜x≤18），
∵n随着x的增大而增大，且当x=18时，
n=10×18=180，
即当底面小圆的直径恰好等于大圆的半径18cm时，
小圆与大圆的直径相切，扇形的弧长恰好与小圆的周长相配套，
此时圆锥的表面积为：S=π×(

18

2

)2+

1

2

×π×182=243π(cm2)．
解：若扇形的弧长与底面圆的周长长度相等，
则πx=

nπ×18

180

，即n=10x（0＜x≤18），
∵n随着x的增大而增大，且当x=18时，
n=10×18=180，
即当底面小圆的直径恰好等于大圆的半径18cm时，
小圆与大圆的直径相切，扇形的弧长恰好与小圆的周长相配套，
此时圆锥的表面积为：S=π×(

18

2

)2+

1

2

×π×182=243π(cm2)．