试题

如图，在⊙O中，直径AC⊥弦BD于F，AB=2

3

cm，∠A=30°
（1）求⊙O的半径OB；         
（2）求图中阴影部分的面积；  
（3）若能把上述的阴影部分做成圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径．

解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，
∵AB=2

3

，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

×2

3

=

3

，
∵∠A=30°，
∴OA=

AE

cos30°

=

3

3 2

=2，
∴OB=OA=2cm；
                                        
（2）∵Rt△ABF中，AB=2

3

，∠A=30°，
∴BF=

1

2

AB=

3

cm，
∵OB=2cm，
∴sin∠BOF=

BF

OB

=

3

2

，
∴∠BOF=60°，
∵直径AC⊥弦BD于F，
∴∠BOD=2∠BOF=120°，
∴S_阴影=

120π×22

360

=

4

3

π；
                            
（3）设圆锥的底面半径为r，
∵∠BOD=2∠BOF=120°，
∴

BD

=

120π×2

180

=

4

3

π，
∴2πr=

4

3

π，解得r=

2

3

．
解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，
∵AB=2

3

，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

×2

3

=

3

，
∵∠A=30°，
∴OA=

AE

cos30°

=

3

3 2

=2，
∴OB=OA=2cm；
                                        
（2）∵Rt△ABF中，AB=2

3

，∠A=30°，
∴BF=

1

2

AB=

3

cm，
∵OB=2cm，
∴sin∠BOF=

BF

OB

=

3

2

，
∴∠BOF=60°，
∵直径AC⊥弦BD于F，
∴∠BOD=2∠BOF=120°，
∴S_阴影=

120π×22

360

=

4

3

π；
                            
（3）设圆锥的底面半径为r，
∵∠BOD=2∠BOF=120°，
∴

BD

=

120π×2

180

=

4

3

π，
∴2πr=

4

3

π，解得r=

2

3

．