试题

题目：
青果学院如图，已知⊙O中，OA=2，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于E，∠A=30°．
（1）求BD的长；
（2）求圆中阴影部分的面积．
（3）若用阴影部分扇形OBD围成一个圆锥的侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
答案
解：（1）∵AC是⊙O的直径，AC⊥BD于E，
∴BD=2BE，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°，
∵OA=OB=2，
∴∠ABO=∠A=30°，∠OBE=30°，
∴BE=OB·cos30°=2×
3
2
=
3
，
∴BD=2BE=2
3
；

（2）∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°
∵AC⊥BD，
∴
BC
=
CD
，
∴∠BOD=2∠BOC=120°，
∴S阴影=
120π×52
360
=
25π
3
；

（3）设这个圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=
120×π×5
180
，解得r=
5
3
．
答：这个圆锥的底面圆的半径为
5
3
．
解：（1）∵AC是⊙O的直径，AC⊥BD于E，
∴BD=2BE，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°，
∵OA=OB=2，
∴∠ABO=∠A=30°，∠OBE=30°，
∴BE=OB·cos30°=2×
3
2
=
3
，
∴BD=2BE=2
3
；

（2）∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°
∵AC⊥BD，
∴
BC
=
CD
，
∴∠BOD=2∠BOC=120°，
∴S阴影=
120π×52
360
=
25π
3
；

（3）设这个圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=
120×π×5
180
，解得r=
5
3
．
答：这个圆锥的底面圆的半径为
5
3
．
考点梳理
垂径定理；勾股定理；扇形面积的计算；圆锥的计算．
（1）先根据AC是⊙O的直径，AC⊥BD于E可知BD=2BE，再由∠A=30°可知，∠ABD=60°，由于OA=OB=2，所以∠ABO=∠A=30°，∠OBE=30°，在Rt△OBE中由锐角三角函数的定义可得出BE的长，进而得出BD的长；
（2）先由圆周角定理得出∠BOC的度数，再根据AC⊥BD可知
BC
=
CD
，故可得出∠BOD的度数，由扇形的面积公式即可得出结论；
（3）设这个圆锥的底面圆的半径为r，根据底面周长=
BD
的长即可得出结论．
本题考查的是垂径定理，涉及到扇形的面积公式、弧长公式及直角三角形的性质等知识，难度适中．
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