试题

九年级（1）班为即将到来的“五·一”国际劳动节排练节目时需要3个底面圆半径为10厘米，母线长为20厘米的圆锥形小红帽（不计接缝损失）．
（1）试确定这种圆锥形小红帽侧面展开图（扇形）的圆心角的度数；
（2）现有宽为40厘米的矩形布料可供选用，按照题目要求在图1中画出使布料能充分利用（最省料）的示意图，并求出矩形布料的长至少为多少厘米．

解：（1）设圆心角的度数为n°，则

nπ×20

180

=2π×10．（3分）
所以n=180．所以此圆锥形小红帽侧面展开图的圆心角度数为180°．（5分）

（2）因为扇形的圆心角为180°，圆锥母线长为20厘米，所以这个扇形的半径为20厘米的半圆．
如图1所示，当三个半圆所在圆两两外切，且半圆的直径与长方形的边垂直时，能使布料得以充分利用．（10分）
如图2，连接O₁O₂，O₂O₃，O₃O₁．
因为⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃两两外切，AO₁=BO₂=CO₃=20，
所以O₁O₂=O₂O₃=O₃O₁=O₁A+CO₃=40．
过点O₃作O₃E⊥O₁O₂，垂足为E．
因为O₂O₃=O₁O₃，
所以O1E=O2E=

1

2

O1O2=20．
在△O₁EO₃中，∠O₁EO₃=90°，
根据勾股定理EO3=

O1O32-O1E2

=

402-202

=20

3

．（15分）
因为四边形ABCD是矩形，
所以AD∥BC，AD=BC，∠A=∠D=90°．
因为AO₁=BO₂，AO₁∥BO₂，
所以四边形ABO₂O₁是矩形．
所以∠AO₁O₂=90°．
所以O₁E∥DO₃．
又因为O₁E=DO₃，
所以四边形O₁EO₃D是平行四边形．
所以EO₃=O₁D．
所以AD=AO1+O1D=20+20

3

．（20分）
因此矩形布料的长至少应为(20+20

3

)厘米．
解：（1）设圆心角的度数为n°，则

nπ×20

180

=2π×10．（3分）
所以n=180．所以此圆锥形小红帽侧面展开图的圆心角度数为180°．（5分）

（2）因为扇形的圆心角为180°，圆锥母线长为20厘米，所以这个扇形的半径为20厘米的半圆．
如图1所示，当三个半圆所在圆两两外切，且半圆的直径与长方形的边垂直时，能使布料得以充分利用．（10分）
如图2，连接O₁O₂，O₂O₃，O₃O₁．
因为⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃两两外切，AO₁=BO₂=CO₃=20，
所以O₁O₂=O₂O₃=O₃O₁=O₁A+CO₃=40．
过点O₃作O₃E⊥O₁O₂，垂足为E．
因为O₂O₃=O₁O₃，
所以O1E=O2E=

1

2

O1O2=20．
在△O₁EO₃中，∠O₁EO₃=90°，
根据勾股定理EO3=

O1O32-O1E2

=

402-202

=20

3

．（15分）
因为四边形ABCD是矩形，
所以AD∥BC，AD=BC，∠A=∠D=90°．
因为AO₁=BO₂，AO₁∥BO₂，
所以四边形ABO₂O₁是矩形．
所以∠AO₁O₂=90°．
所以O₁E∥DO₃．
又因为O₁E=DO₃，
所以四边形O₁EO₃D是平行四边形．
所以EO₃=O₁D．
所以AD=AO1+O1D=20+20

3

．（20分）
因此矩形布料的长至少应为(20+20

3

)厘米．