试题

题目：
青果学院（2006·孝感）已知如图，圆锥的底面圆的半径为r（r＞0），母线长OA为3r，C为母线OB的中点在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短线路长为（　　）



答案
B
解：由题意知，底面圆的直径为2r，故底面周长等于2rπ，
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2rπ=
nπ·3r
180
，
解得n=120，
所以展开图中扇形的圆心角为120°，
∴∠AOA′=120°，
∴∠1=60°，
过C作CF⊥OA，
∵C为OB中点，BO=3r，
∴OC=
3
2
r，青果学院
∵∠1=60°，
∴∠OCF=30°，
∴FO=
3
4
r，
∴CF2=CO2-OF2=
27
16
r2，
∵AO=3r，FO=
3
4
r，
∴AF=
9
4
r，
∴AC2=AF2+FC2=
27
16
r2+
81
16
r2═
27
4
r2，
∴AC=
3
3
r
2
，
故选B．
考点梳理
平面展开-最短路径问题；弧长的计算；圆锥的计算．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
压轴题．
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