试题

如图，在△ABC中，AB＞AC，I为△ABC的内心，D点在BC边上且∠ACB=2∠CDI．求证：AB=AC+BD．

解：连接AI，BI，CI，过点I作IE⊥AB，IM⊥BC，IF⊥AC垂足分别为E，M，F，
∵I为△ABC的内心，
∴∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠ICB，
又∵IE⊥AB，IM⊥BC，IF⊥AC，
∴EI=IM=IF，
在Rt△AEI和Rt△AFI中，
∵

AI=AI EI=FI

，
∴Rt△AEI≌Rt△AFI（HL），
则AE=AF，
同理可得出：BE=BM，FC=MC，
∵∠ACB=2∠CDI，
∴∠ICD=∠IDC，
∴ID=IC，
∵IM⊥CD，
∴DM=CM，
∴AE+BE=AF+BM=AF+BD+DM=AF+FC+BD=AC+BD，
即AB=AC+BD．
解：连接AI，BI，CI，过点I作IE⊥AB，IM⊥BC，IF⊥AC垂足分别为E，M，F，
∵I为△ABC的内心，
∴∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠ICB，
又∵IE⊥AB，IM⊥BC，IF⊥AC，
∴EI=IM=IF，
在Rt△AEI和Rt△AFI中，
∵

AI=AI EI=FI

，
∴Rt△AEI≌Rt△AFI（HL），
则AE=AF，
同理可得出：BE=BM，FC=MC，
∵∠ACB=2∠CDI，
∴∠ICD=∠IDC，
∴ID=IC，
∵IM⊥CD，
∴DM=CM，
∴AE+BE=AF+BM=AF+BD+DM=AF+FC+BD=AC+BD，
即AB=AC+BD．