试题

（2009·杭州）如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．
①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是；
②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB=．

解：①如图，根据圆和正方形的对称性可知：GH=

1

2

DG=

1

2

GF，
H为半圆的圆心，不妨设GH=a，则GF=2a，
在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF=

5

a．由此可得，半圆的半径为

5

a，正方形边长为2a，
所以半圆的半径与正方形边长的比是

5

a：2a=

5

：2；

②因为正方形DEFG的面积为100，所以正方形DEFG边长为10．
连接EB、AE，OI、OJ，
∵AC、BC是⊙O的切线，
∴CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形OICJ是正方形，且边长是4，
设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）²+（y+4）²=（x+y）²①；
在直角三角形AEB中，
∵∠AEB=90°，ED⊥AB，
∴△ADE∽△BDE∽△ABE，
于是得到ED²=AD·BD，即10²=x·y②．
解①式和②式，得x+y=21，
即半圆的直径AB=21．