试题

如图所示，AD∥BC，∠ABC=90゜，∠DEC=90゜，且E为AB的中点．下列说法正确的是（　　） 
①△EDC≌△BEC；②AD+BC=CD；③AB²=4AD·BC；④分别以AD、AB、BC、CD为直径向外作半圆，其面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，则S₁+S₄=S₃+S₂．
A．①②③④
B．②③
C．②④
D．②

B
解：①∵∠DEC=90゜，
∴DC＞EC，即DC≠EC，
∴△EDC≌△BEC错误；
②如图，取CD中点F，连接EF，
又∵E为AB的中点，
∴EF为梯形ABCD的中位线，
∴AD+BC=2EF，
∵EF为△CED斜边的中线，
∴CD=2EF，
∴AD+BC=CD正确；
③∵AD∥BC，∠ABC=90゜，
∴∠DAE=180°-∠ABC=90°．
∵∠DEC=90゜，
∴∠ADE=∠BEC=90°-∠AED．
在△AED与△BCE中，

∠DAE=∠EBC=90° ∠ADE=∠BEC

，
∴△AED∽△BCE，
∴

AD

BE

=

AE

BC

，
∵AE=BE=

1

2

AB，
∴

1

4

AB²=AD·BC，
∴AB²=4AD·BC正确；
④∵∠DAE=∠EBC=90°，
∴AD²+AE²=DE²，BE²+BC²=CE²，
∵∠DEC=90゜，
∴DE²+CE²=CD²，
∴AD²+AE²+BE²+BC²=CD²，
∵AE²=BE²=

1

4

AB²，
∴AD²+

1

2

AB²+BC²=CD²，
∴

1

8

πAD²+

1

2

×

1

8

πAB²+

1

8

πBC²=

1

8

πCD²，
∴S₁+

1

2

S₂+S₃=S₄，
∴S₁+S₄=S₃+S₂错误．
故选B．