试题

题目：
当a、b、c为何值时，代数式
a-3
+b2+c2-10b-8c+6有最小值？并求出这个最小值和此时以a、b、c值为边的三角形的面积．
答案
解：∵
a-3
+b2+c2-10b-8c+6
=
a-3
+b2-10b+25-25+c2-8c+16-16+6
=
a-3
+（b-5）2+（c-4）2-35，
∵
a-3
≥0，（b-5）2≥0，（c-4）2≥0，
∴代数式
a-3
+b2+c2-10b-8c+6有最小值时，a=3，b=5，c=4，
∴这个最小值为-35，
∴以a、b、c值为边的三角形为直角三角形，直角边为a和c，
∴以a、b、c值为边的三角形的面积为6．
解：∵
a-3
+b2+c2-10b-8c+6
=
a-3
+b2-10b+25-25+c2-8c+16-16+6
=
a-3
+（b-5）2+（c-4）2-35，
∵
a-3
≥0，（b-5）2≥0，（c-4）2≥0，
∴代数式
a-3
+b2+c2-10b-8c+6有最小值时，a=3，b=5，c=4，
∴这个最小值为-35，
∴以a、b、c值为边的三角形为直角三角形，直角边为a和c，
∴以a、b、c值为边的三角形的面积为6．
考点梳理
完全平方公式；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；勾股定理的逆定理．
首先把
a-3
+b2+c2-10b-8c+6进行配方得：
a-3
+b2-10b+25-25+c2-8c+16-16+6，进一步整理得：
a-3
+（b-5）2+（c-4）2-35，分析可知，
a-3
≥0，（b-5）2≥0，（c-4）2≥0，即可推出最小值为-35，a=3，b=5，c=4，此时三角形为直角三角形直角边长度为4和3，所以面积为6．
本题主要考查完全平方公式，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键在于利用完全平方公式对原代数式进行配方．分析a、b、c的值．
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