试题

题目：
青果学院（2013·南通一模）已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D为BC边上一点．
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）若AC=2
2
，CD=1，求ED的长．
答案
（1）证明：
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB=AC，∠BAC=90°
同理AB=AE，∠CAE=90°
∵∠BAC=∠CAE=90°
∴∠EAC+∠CAD=∠BAD+∠CAD=90°
∴∠EAC=∠DAB
在△ACE与△ABD中，
AE=AD
∠EAC=∠DAB
AC=AB

∴△ACE≌△ABD（SAS）
（2）解：在△ABC中
BC=
AC
sinB
=
2
2
sin45°
=4
∴BD=BC-CD=4-1=3
∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠ACB=∠B=45°
∵△ACE≌△ABD青果学院
∴∠ACE=∠B=45°，EC=DB=3
∵∠ECD=∠ACE+∠ACB=90°
∴△ECD是直角三角形
∴ED=
EC2+CD2
=
10
．
（1）证明：
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB=AC，∠BAC=90°
同理AB=AE，∠CAE=90°
∵∠BAC=∠CAE=90°
∴∠EAC+∠CAD=∠BAD+∠CAD=90°
∴∠EAC=∠DAB
在△ACE与△ABD中，
AE=AD
∠EAC=∠DAB
AC=AB

∴△ACE≌△ABD（SAS）
（2）解：在△ABC中
BC=
AC
sinB
=
2
2
sin45°
=4
∴BD=BC-CD=4-1=3
∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠ACB=∠B=45°
∵△ACE≌△ABD青果学院
∴∠ACE=∠B=45°，EC=DB=3
∵∠ECD=∠ACE+∠ACB=90°
∴△ECD是直角三角形
∴ED=
EC2+CD2
=
10
．
考点梳理
全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；解直角三角形．
（1）利用△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，得到两条对应边相等，然后得到其夹角相等即可证得两三角形全等；
（2）解：在△ABC中求得BC=2、BD=BC-CD=4-1=3，再根据△ACE≌△ABD得到∠ACE=∠B=45°，最后得到∠ECD=∠ACE+∠ACB=90°，利用勾股定理求得ED长即可
本题考查了全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识，全等三角形是一种非常重要的工具，应该利用好．
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