试题

（2008·旅顺口区）两个全等的三角形如下图所示放置，点B、A、D在同一直线上．操作：在图中，在CB边上截取CM=AB，连接DM，交AC于N．请探究∠AND的大小，并证明你的结论．

解：作图基本正确，确定M，连接DM，确定交点N
猜测∠AND=45°
证明：∵Rt△ABC≌Rt△DEA，
∴AE=AC，∠EAD=∠ACB，AB=DE．
延长ED至点F，使DE=DF，连接AF、CF，
∵EF⊥AD，
∴AF=AE，∴∠FAD=∠EAD．
∴AF=AC，∠FAD=∠ACB．
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°．
∴∠BAC+∠FAD=90°．
∴∠FAC=90°．
∴△FAC是等腰直角三角形，
∴∠ACF=45°．
∵BC⊥AD，EF⊥AD，
∴BC∥EF．
∵CM=AB=DE=DF=DF，
∴四边形FDMC为平行四边形．
∴CF∥DM．
∴∠AND=∠ACF=45°．
解：作图基本正确，确定M，连接DM，确定交点N
猜测∠AND=45°
证明：∵Rt△ABC≌Rt△DEA，
∴AE=AC，∠EAD=∠ACB，AB=DE．
延长ED至点F，使DE=DF，连接AF、CF，
∵EF⊥AD，
∴AF=AE，∴∠FAD=∠EAD．
∴AF=AC，∠FAD=∠ACB．
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°．
∴∠BAC+∠FAD=90°．
∴∠FAC=90°．
∴△FAC是等腰直角三角形，
∴∠ACF=45°．
∵BC⊥AD，EF⊥AD，
∴BC∥EF．
∵CM=AB=DE=DF=DF，
∴四边形FDMC为平行四边形．
∴CF∥DM．
∴∠AND=∠ACF=45°．