试题

题目：
青果学院（2009·防城港）如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF=90°，AD+CD=10，AE=2，求AD的长．
答案
解：先设AD=x．
∵△DEF为等腰三角形．
∴DE=EF，∠FEB+∠DEA=90°．
又∵∠AED+∠ADE=90°．
∴∠FEB=∠EDA．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠A=90°
∴△ADE≌△BEF（AAS）．
∴AD=BE．
∴AD+CD=AD+AB=x+x+2=10．
解得x=4．
即AD=4．
解：先设AD=x．
∵△DEF为等腰三角形．
∴DE=EF，∠FEB+∠DEA=90°．
又∵∠AED+∠ADE=90°．
∴∠FEB=∠EDA．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠A=90°
∴△ADE≌△BEF（AAS）．
∴AD=BE．
∴AD+CD=AD+AB=x+x+2=10．
解得x=4．
即AD=4．
考点梳理
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
先设AD=x．由△DEF为等腰直角三角形，可以得到一对边相等，一对角相等，再加上一对直角相等，那么△ADE和△BEF全等，就有AD=BE．那么利用边相等可得x+x+2=10，解之即得AD．
本题综合考查了等腰直角三角形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质及矩形的性质等知识．
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