试题

（2011·朝阳）如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=

2

，点D在AC上，点E在BC上，且CD=CE，连接DE．
（1）线段BE与AD的数量关系是，位置关系是．
（2）如图（2），当△CDE绕点C顺时针旋转一定角度α后，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
（3）绕点C继续顺时针旋转△CDE，当90°＜α＜180°时，延长DC交AB于点F，请在图（3）中补全图形，并求出当AF=1+

3

3

时，旋转角α的度数．

解：（1）∵AC=BC=

2

，CD=CE，
∴BE=AD，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴BE⊥AD．

（2）仍然成立．
如图（1），延长BE交AD于点M．
在△BCE和△ACD中，BC=AC，∠BCE=∠ACD=α，CE=CD，
∴△BCE≌△ACD．
∴BE=AD．
∵∠1=∠2，∠CAD=∠CBE，∴∠AMB=∠ACB=90°．
即　BE⊥AD．

（3）如图（2），过点C作CN⊥AB于点N，
∵AC=BC=

2

，∠ACB=90°，
∴CN=AN=

1

2

AB=1，∠BCN=45°．
∵AF=1+

3

3

，
∴FN=AF-AN=

3

3

．
在Rt△CNF中，tan∠FCN=

FN

CN

=

3

3

，
∴∠FCN=30°．
∴∠BCF=∠BCN-∠FCN=15°．
∵∠FCE=90°，
∴∠BCE=∠BCF+∠FCE=105°．
∴当AF=1+

3

3

时，旋转角α为105°．