试题

请阅读下列材料：
问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，MN是过点A的直线，DB⊥MN于点D，联结CD．求证：BD+AD=

2

CD．
小明的思考过程如下：要证BD+AD=

2

CD，需要将BD，AD转化到同一条直线上，可以在MN上截取AE=BD，并联结EC，可证△ACE和△BCD全等，得到CE=CD，且∠ACE=∠BCD，由此推出△CDE为等腰直角三角形，可知DE=

2

CD，于是结论得证．
小聪的思考过程如下：要证BD+AD=

2

CD，需要构造以CD为腰的等腰直角三角形，可以过点C作CE⊥CD交MN于点E，可证△ACE和△BCD全等，得到CE=CD，且AE=BD，由此推出△CDE为等腰直角三角形，可知DE=

2

CD，于是结论得证．

请你参考小明或小聪的思考过程解决下面的问题：
（1）将图1中的直线MN绕点A旋转到图2和图3的两种位置时，其它条件不变，猜想BD，AD，CD之间的数量关系，并选择其中一个图形加以证明；
（2）在直线MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD=30°，BD=

2

时，CD=．

解：（1）如图2，BD-AD=

2

CD．
如图3，AD-BD=

2

CD．
证明图2：（ 法一）在直线MN上截取AE=BD，联结CE．
设AC与BD相交于点F，∵BD⊥MN，∴∠ADB=90°，
∴∠CAE+∠AFD=90°．
∵∠ACB=90°，∴∠1+∠BFC=90°．
∵∠AFD=∠BFC，∴∠CAE=∠1．
在△ACE和△BCD中

AE=BD ∠CAE=∠1 AC=BC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．          
∴CE=CD，∠ACE=∠BCD．
∴∠ACE-∠ACD=∠BCD-∠ACD，即∠2=∠ACB=90°．
在Rt△CDE中，∵CD²+CE²=DE²，
∴2CD²=DE²，即DE=

2

CD．
∵DE=AE-AD=BD-AD，∴BD-AD=

2

CD．   

（ 法二）如图2，过点C作CE⊥CD交MN于点E，则∠2=90°．
∵∠ACB=90°，∴∠2+∠ACD=∠ACB+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD．
设AC与BD相交于点F，∵DB⊥MN，∴∠ADB=90°．
∴∠CAE+∠AFD=90°，∠1+∠BFC=90°．
∵∠AFD=∠BFC，∴∠CAE=∠1．
在△ACE和△BCD中

∠CAE=∠1 AC=BC ∠ECA=∠BCD

，
∴△ACE≌△BCD（ASA）．    
∴CE=CD，AE=BD．
在Rt△CDE中，∵CD²+CE²=DE²，
∴2CD²=DE²，即DE=

2

CD．
∵DE=AE-AD=BD-AD，∴BD-AD=

2

CD．  
证明：如图3：（ 法一）在直线MN上截取AE=BD，联结CE．
设AD与BC相交于点F，∵∠ACB=90°，∴∠2+∠AFC=90°．
∵BD⊥MN，∴∠ADB=90°，∠3+∠BFD=90°．
∵∠AFC=∠BFD，∴∠2=∠3．
在△ACE和△BCD中

AE=BD ∠2=∠3 AC=BC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．          
∴CE=CD，∠1=∠4．
∴∠1+∠BCE=∠4+∠BCE，即∠ECD=∠ACB=90°．
在Rt△CDE中，∵CD²+CE²=DE²，
∴2CD²=DE²，即DE=

2

CD．
∵DE=AD-AE=AD-BD，∴AD-BD=

2

CD． 
（ 法二）如图3，过点C作CE⊥CD交MN于点E，则∠DCE=90°．
∵∠ACB=90°，∴∠ACB-∠ECB=∠DCE-∠ECB，即∠1=∠4．
设AD与BC相交于点F，∵DB⊥MN，∴∠ADB=90°．
∴∠2+∠AFC=90°，∠3+∠BFD=90°．
∵∠AFC=∠BFD，∴∠2=∠3．
∵∠1+∠ECF=90°，∠ECF+∠4=90°，
∴∠1=∠4，
在△ACE和△BCD中

∠2=∠3 AC=BC ∠1=∠4

，
∴△ACE≌△BCD（ASA）．           
∴CE=CD，AE=BD．
在Rt△CDE中，CD²+CE²=DE²，
∴2CD²=DE²，即DE=

2

CD．
∵DE=AD-AE=AD-BD，
∴AD-BD=

2

CD．     
 
（2）MN在绕点A旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况，
∴综合了第一个图和第二个图两种情况
若是第1个图：易证△ACE≌△DCB，CE=CD，
∴△ECD为等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°=∠CBD，
过D作DH⊥CB．则△DHB为等腰直角三角形．
BD=

2

BH，
∴BH=DH=1．
直角△CDH中，∠DCH=30°，
BH=1，则CH=

3

．
∴CD=

3

+1
若是第二个图：过B作BH⊥CD交CD延长线于H．
解法类似上面，CH=

3

，DH=1，CD=

3

-1．
故答案为：

3

±1．