试题

（2009·奉贤区二模）如图，已知在直角三角形ABC中，∠BCA=90°，cos∠BAC=

4

5

，分别以AB、AC为底边向三角形ABC的外侧作等腰三角形ADB和等腰三角形CEA，且AD⊥AC，AE⊥AB，连接DE，交AB于点F，
（1）求

S△ADB

S△AEC

的值；
（3）求

AF

FB

的值．

证明：（1）∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠DAC=∠BAE=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AD=BD，AE=EC，
∴∠DAB=∠DBA，∠ECA=∠EAC，
∴∠DBA=∠ECA，
∴△ADB∽△AEC，
∴

S△ADB

S△AEC

=(

AB

AC

)2，
∵∠BCA=90°，
cos∠BAC=

4

5

=

AC

AB

，
∴

S△ADB

S△AEC

=

25

16

；

（2）过点E作EH⊥AC，延长交AB于G，连接DG，
∵AE=EC，
∴AH=CH，EH⊥AC，
∵∠BCA=90°，
∴GH∥BC，
∴AG=BG，
∵AD=BD，
∴DG⊥AB，
∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴GE∥AD，DG∥AE，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴AF=GF，
∴

AF

FB

=

1

3

．
证明：（1）∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠DAC=∠BAE=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AD=BD，AE=EC，
∴∠DAB=∠DBA，∠ECA=∠EAC，
∴∠DBA=∠ECA，
∴△ADB∽△AEC，
∴

S△ADB

S△AEC

=(

AB

AC

)2，
∵∠BCA=90°，
cos∠BAC=

4

5

=

AC

AB

，
∴

S△ADB

S△AEC

=

25

16

；

（2）过点E作EH⊥AC，延长交AB于G，连接DG，
∵AE=EC，
∴AH=CH，EH⊥AC，
∵∠BCA=90°，
∴GH∥BC，
∴AG=BG，
∵AD=BD，
∴DG⊥AB，
∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴GE∥AD，DG∥AE，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴AF=GF，
∴

AF

FB

=

1

3

．