试题

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．
（1）请判断BS与PS的长度之间的关系；
（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系，并证明；
（3）设AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积的最小值．

解：（1）BS=BS；理由如下：
∵在Rt△ABC中，AB=AC（已知），
∴∠B=∠C=45°（三角形内角和定理）；
又∵PR⊥BC（已知），
∴∠SPR=45°（三角形内角和定理），
∴∠B=∠BPR（等量代换），
∴BR=PR（等角对等边）；
∵RS是∠PRB的平分线（已知），
∴RS是PB的中垂线（等腰三角形的性质），
∴BS=BS；

（2）PA=TS；证明如下：
由（1）知，RS⊥平板，
∴∠STP+∠SPT=90°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵四边形PTEF是正方形，
∴∠FPT=90°（正方形的四个内角都是直角），
∴∠APF+∠SPT=90°（平角的定义），
∴∠APF=∠STP（等量代换）；
∴在Rt△FPA和Rt△PTS中，

∠FAP=∠PST=90° ∠APF=∠STP PF=TP(正方形的边长)

，
∴Rt△FPA≌Rt△PTS，
∴PA=TS；（全等三角形的对应边相等）；

（3）∵由（1）知，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高，
∴PS=BS，
∴BS+PS+PA=1，
∴PS=

1-PA

2

．
设PA的长为x，正方形PTEF的面积为y，易知AF=PS，
则y=PF²=PA²+PS²，得y=x²+(

1-x

2

)2，
即y=

5

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
根据二次函数的性质，当x=

1

5

时，y有最小值为

1

5

．
如图2，当点P运动使得T与R重合时，PA=TS为最大．
易证等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
∴PA=

1

3

．
如图3，当P与A重合时，得x=0．
∴x的取值范围是0≤x≤

1

3

．
∴①当x的值由0增大到

1

5

时，y的值由

1

4

减小到

1

5

；
②当x的值由

1

5

增大到

1

3

时，y的值由

1

5

增大到

2

9

．
∵

1

5

≤

2

9

≤

1

4

，
∴在点P的运动过程中，正方形PTEF面积y的最小值是

1

5

．
解：（1）BS=BS；理由如下：
∵在Rt△ABC中，AB=AC（已知），
∴∠B=∠C=45°（三角形内角和定理）；
又∵PR⊥BC（已知），
∴∠SPR=45°（三角形内角和定理），
∴∠B=∠BPR（等量代换），
∴BR=PR（等角对等边）；
∵RS是∠PRB的平分线（已知），
∴RS是PB的中垂线（等腰三角形的性质），
∴BS=BS；

（2）PA=TS；证明如下：
由（1）知，RS⊥平板，
∴∠STP+∠SPT=90°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵四边形PTEF是正方形，
∴∠FPT=90°（正方形的四个内角都是直角），
∴∠APF+∠SPT=90°（平角的定义），
∴∠APF=∠STP（等量代换）；
∴在Rt△FPA和Rt△PTS中，

∠FAP=∠PST=90° ∠APF=∠STP PF=TP(正方形的边长)

，
∴Rt△FPA≌Rt△PTS，
∴PA=TS；（全等三角形的对应边相等）；

（3）∵由（1）知，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高，
∴PS=BS，
∴BS+PS+PA=1，
∴PS=

1-PA

2

．
设PA的长为x，正方形PTEF的面积为y，易知AF=PS，
则y=PF²=PA²+PS²，得y=x²+(

1-x

2

)2，
即y=

5

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
根据二次函数的性质，当x=

1

5

时，y有最小值为

1

5

．
如图2，当点P运动使得T与R重合时，PA=TS为最大．
易证等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
∴PA=

1

3

．
如图3，当P与A重合时，得x=0．
∴x的取值范围是0≤x≤

1

3

．
∴①当x的值由0增大到

1

5

时，y的值由

1

4

减小到

1

5

；
②当x的值由

1

5

增大到

1

3

时，y的值由

1

5

增大到

2

9

．
∵

1

5

≤

2

9

≤

1

4

，
∴在点P的运动过程中，正方形PTEF面积y的最小值是

1

5

．