试题

题目：
青果学院（2013·荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形AnBnDnEn 的边长是
1
3(n-1)
1
3(n-1)
．
答案
1
3(n-1)

解：∵∠A=∠B=45°，
∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B，
∴第一个内接正方形的边长=
1
3
AB=1；
同理可得：
第二个内接正方形的边长=
1
3
A1B1=
1
9
AB=
1
3
；
第三个内接正方形的边长=
1
3
A2B2=
1
27
AB=
1
9
；
故可推出第n个小正方形AnBnDnEn 的边长=
1
3n
AB=
1
3(n-1)
．
故答案为：
1
3(n-1)
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形AnBnDnEn 的边长．
本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律．
规律型．
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