试题

如图，点O是正△ABC内一点，∠AOB=90°，∠BOC=α，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，连接OE
（1）求证：△COE是正三角形；
（2）当α为何值时，AC⊥OE，并说明理由；
（3）探究是否存在α的值使得点O到正△ABC三个顶点的距离之比为1：

3

：2？若存在请直接写出α的值，若不存在请说明理由．

解：（1）由题意得：△BOC≌△AEC
∴CO=CE，
∴∠COE=∠CEO，
∵∠OCE=60°，
∴∠COE=∠CEO=∠OCE=60°，
∴△COE是正三角形．

（2）当a=135°时，AC⊥OE，
理由如下：
∵△COE是正三角形，AC⊥OE
∴AC垂直平分OE，
∴AO=AE，
∴∠AOE=∠AEO，
∵∠AOB=90°，∠BOC=α，∠COE=60°，
∴∠AOE=210°-α，
∵∠AEO=∠AEC-60°=∠BOC-60°=α-60°
∴210°-α=α-60°，
解得α=135°，
所以当α=135°时，AC⊥OE；

（3）∵△COE是正三角形，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，
∴AC=BC，EC=CO=EO，BO=AE，∠AEC=∠BOC，
当OE：AO：AE=1：

3

：2时，
∴∠AOE=90°，△AOE是直角三角形，
∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°，
当EO：AE：AO=1：

3

：2时，
∴△AOE是直角三角形，tan∠EAO=

EO

AE

=

3

3

，
∴∠EAO=30°，∠AOE=60°，∠AEO=90°，
∴∠BOC=∠AEC=∠AEO+∠OEC=90°+60°=150°，
故当a=120°或150°时，
存在α的值使得点O到正△ABC三个顶点的距离之比为：1：

3

：2．
解：（1）由题意得：△BOC≌△AEC
∴CO=CE，
∴∠COE=∠CEO，
∵∠OCE=60°，
∴∠COE=∠CEO=∠OCE=60°，
∴△COE是正三角形．

（2）当a=135°时，AC⊥OE，
理由如下：
∵△COE是正三角形，AC⊥OE
∴AC垂直平分OE，
∴AO=AE，
∴∠AOE=∠AEO，
∵∠AOB=90°，∠BOC=α，∠COE=60°，
∴∠AOE=210°-α，
∵∠AEO=∠AEC-60°=∠BOC-60°=α-60°
∴210°-α=α-60°，
解得α=135°，
所以当α=135°时，AC⊥OE；

（3）∵△COE是正三角形，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，
∴AC=BC，EC=CO=EO，BO=AE，∠AEC=∠BOC，
当OE：AO：AE=1：

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：2时，
∴∠AOE=90°，△AOE是直角三角形，
∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°，
当EO：AE：AO=1：

3

：2时，
∴△AOE是直角三角形，tan∠EAO=

EO

AE

=

3

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，
∴∠EAO=30°，∠AOE=60°，∠AEO=90°，
∴∠BOC=∠AEC=∠AEO+∠OEC=90°+60°=150°，
故当a=120°或150°时，
存在α的值使得点O到正△ABC三个顶点的距离之比为：1：

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：2．