试题

题目：
已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的方程（b+c）x2+2ax+（c-b）=0有两个相等的实数根，c=5，a+b=
m2-4
+
4-m2
m+2
+3
2
+2，求△ABC的面积．
答案
解：∵关于x的方程（b+c）x2+2ax+（c-b）=0有两个相等的实数根，
∴△=4a2-4（b+c）（c-b）=0，即4（a2+b2-c2）=0，即a2+b2=c2，
∴此三角形是以c为斜边的直角三角形，
∵a+b=
m2-4
+
4-m2
m+2
+3
2
+2，
∴
m2-4≥0
4-m2≥0
，解得m=2或m=-2（不合题意，舍去），
∴a+b=3
2
+2，
∴（a+b）2=（3
2
+2）2，
∵c=5，
∴2ab=（3
2
+2）2-25=-3+12
2
，
∴S△ABC=
12
2
-3
4
．
故此三角形的面积为
12
2
-3
4
．
解：∵关于x的方程（b+c）x2+2ax+（c-b）=0有两个相等的实数根，
∴△=4a2-4（b+c）（c-b）=0，即4（a2+b2-c2）=0，即a2+b2=c2，
∴此三角形是以c为斜边的直角三角形，
∵a+b=
m2-4
+
4-m2
m+2
+3
2
+2，
∴
m2-4≥0
4-m2≥0
，解得m=2或m=-2（不合题意，舍去），
∴a+b=3
2
+2，
∴（a+b）2=（3
2
+2）2，
∵c=5，
∴2ab=（3
2
+2）2-25=-3+12
2
，
∴S△ABC=
12
2
-3
4
．
故此三角形的面积为
12
2
-3
4
．
考点梳理
勾股定理的逆定理；二次根式有意义的条件；根的判别式；勾股定理．
先根据方程有两个相等的实数根判断出三角形的形状，再根据二次根式有意义的条件求出m的值，根据直角三角形的面积公式即可解答．
本题考查的是勾股定理的逆定理、根的判别式、二次根式有意义的条件及三角形的面积公式，熟知以上知识是解答此题的关键．
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