试题

题目：
青果学院如图，矩形ABCD的顶点A坐标为（0，0），顶点B的坐标是（-2，1），顶点C在y轴上．
（1）求点D的坐标；
（2）将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的点G处，得到矩形AEFG，EF与AD交于点H．过点H的反比例函数图象交FG于点I．求△AHI的面积；
（3）小明猜想△AHI是一个直角三角形，他的猜想对吗？请谈谈你的看法．
答案
青果学院解：（1）过B，D作△ABC和△ACD的高BM，DN，
在△ABC和△ACD中，
AB=CD
AC=AC
BC=AD
，
∴△ABC≌△ACD，
∴BM=DN=2，
过点B，D作x轴的垂线BP，DQ，则OP=AQ=2．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAP+∠DAQ=90°，
又∵∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠BAP=∠ADQ，
∴△OBP∽△DAQ，
∴
BP
AQ
=
OP
DQ
，
即
1
2
=
2
DQ
，
∴DQ=4，
则D的坐标是（2，4）．

（2）（3）设直线OD的解析式是y=kx，把（2，4）代入解得k=2，
因而函数解析式是y=2x，
在直角△OBP中，根据勾股定理得到OB=
5
，
∴OE=OB=
5
，
即H点的纵坐标是
5
，
把y=
5
代入y=2x，得到x=
5
2
，
则H点的坐标是（
5
2
，
5
），
设反比例函数的解析式是y=
k
x
，把H点的坐标（
5
2
，
5
）代入解得k=
5
2
，
则解析式是y=
5
2x
，
在直角△ADQ中，根据勾股定理得到OD=
OQ2+DQ2
=2
5
，
∴OG=OD=2
5
，
则I点的横坐标是2
5
，
把x=2
5
代入解析式得到y=
5
4
，
则I点的坐标是（2
5
，
5
4
），
∴OH2=
25
4
，OI2=
325
16
HI2=
225
16
，
∵
25
4
+
225
16
=
325
16
，
即AH2+HI2=AI2，
∴△AHI是一个直角三角形，
∴△AHI的面积是
25
4
·
225
16
÷2=
75
16
．
青果学院解：（1）过B，D作△ABC和△ACD的高BM，DN，
在△ABC和△ACD中，
AB=CD
AC=AC
BC=AD
，
∴△ABC≌△ACD，
∴BM=DN=2，
过点B，D作x轴的垂线BP，DQ，则OP=AQ=2．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAP+∠DAQ=90°，
又∵∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠BAP=∠ADQ，
∴△OBP∽△DAQ，
∴
BP
AQ
=
OP
DQ
，
即
1
2
=
2
DQ
，
∴DQ=4，
则D的坐标是（2，4）．

（2）（3）设直线OD的解析式是y=kx，把（2，4）代入解得k=2，
因而函数解析式是y=2x，
在直角△OBP中，根据勾股定理得到OB=
5
，
∴OE=OB=
5
，
即H点的纵坐标是
5
，
把y=
5
代入y=2x，得到x=
5
2
，
则H点的坐标是（
5
2
，
5
），
设反比例函数的解析式是y=
k
x
，把H点的坐标（
5
2
，
5
）代入解得k=
5
2
，
则解析式是y=
5
2x
，
在直角△ADQ中，根据勾股定理得到OD=
OQ2+DQ2
=2
5
，
∴OG=OD=2
5
，
则I点的横坐标是2
5
，
把x=2
5
代入解析式得到y=
5
4
，
则I点的坐标是（2
5
，
5
4
），
∴OH2=
25
4
，OI2=
325
16
HI2=
225
16
，
∵
25
4
+
225
16
=
325
16
，
即AH2+HI2=AI2，
∴△AHI是一个直角三角形，
∴△AHI的面积是
25
4
·
225
16
÷2=
75
16
．
考点梳理
矩形的性质；坐标与图形性质；反比例函数图象上点的坐标特征；勾股定理的逆定理；旋转的性质；相似三角形的性质．
（1）点B，D到y轴的距离相等，因而两点的横坐标一定互为相反数，即D的横坐标是2，并且易证△OBP∽△DAQ，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出D点的纵坐标．
（2）根据OE=OB，就可以得到E点的纵坐标，即H的纵坐标．H又在直线CD上，CD的解析式易求得，则H的坐标就可以求出．根据待定系数法就可以求出反比例函数的解析式，进而求出点I的坐标．
（3）中的问题，先验证△AHI是一个直角三角形，可以根据点的坐标求出三角形的三边的长，判断是否是直角三角形，若是，面积就可以求出．
本题是一个函数与矩形相结合的题目，正确的审题，先证明三角形是直角三角形可以简化计算过程．
代数几何综合题；压轴题．
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