试题

题目：
若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，
下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），
注意这五组“商高数”的结构有如下规律：
4=2×2×1
3=22-12
5=22+12
，
12=2×3×2
5=32-22
13=32+22
，
6=2×3×1
8=32-12
10=32+12
，
24=2×4×3
7=42-32
25=42+32
，
16=2×4×2
12=42-22
20=42+22

根据以上规律，回答以下问题：
（1）商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？
（2）写出各数都大于30的两组商高数；
（3）用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论．
答案
解：（1）有一个偶数、两个奇数或三个偶数；

（2）（40，42，58），（119，120，169）；

（3）a=2mn，b=m2-n2，c=m2+n2
证明：a2+b2=（2mn）2+（m2-n2）2
=4m2n2+m4-2m2n2+n4
=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2
∴a2+b2=c2．
解：（1）有一个偶数、两个奇数或三个偶数；

（2）（40，42，58），（119，120，169）；

（3）a=2mn，b=m2-n2，c=m2+n2
证明：a2+b2=（2mn）2+（m2-n2）2
=4m2n2+m4-2m2n2+n4
=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2
∴a2+b2=c2．
考点梳理
勾股定理的逆定理．
（1）根据奇数和偶数的定义解答；
（2）根据a=2mn，b=m2-n2，c=m2+n2找出符合条件的两组数据；
（3）根据勾股定理证明这一组数据是商高数．
此题是定义性题目，解答此题的关键是根据所给条件找出各数据之间的规律，即可解答．
新定义．
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