试题

已知：如图，正方形ABCD的边长为1，动点E、F分别在边AB、对角线BD上（点E与点A、B都不重合）且AE=

2

DF
（1）设DF=x，CF²=y，求：y与x的函数关系式，并写出定义域；
（2）求证：FC=FE；
（3）是否存在以线段AE、DF、CF的长为边的直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）过F作FG⊥DC于G，
则∠FGD=∠FGC=90°  
∵正方形ABCD中，BD是对角线，
∴∠BDG=45°，
∵∠FGD=90°，DF=x，
∴FG=DG=

2

2

x，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴GC=1-

2

2

x，
在Rt△FCG中，
CF²=CG²+FG²=（1-

2

2

x）²+（

2

2

x）²=x²-

2

x+1，
∴y=x²-

2

x+1（0＜x＜

2

2

）；
     
（2）延长GF交AB于H，
∵∠A=∠ADG=∠DGH=90°，
∴矩形AHGD，
∴AH=DG=

2

2

x，
∵AE=

2

x，
∴HE=

2

2

x，
∴GF=HE，
CG=FH，
∵∠CGF=∠FHE=90°，
∴Rt△FCG≌Rt△EFH（SAS），
∴FC=FE，

（3）∵AE=

2

DF，
∴DF＜AE，
∴若存在以AE、DF、CF的长为边的直角三角形，则DF不可能为斜边，
①若CF为斜边，则x²+（

2

x）²=x²-

2

x+12x²+

2

x-1=0，
x=

- 2 + 10

4

，x=

- 2 - 10

4

（负值舍去），
②若AE为斜边，则x²+x²-

2

x+1=（

2

x）²，解得：x=

2

2

，
∵0＜x＜

2

2

，
∴舍去
综上所述当x=

- 2 + 10

4

时，存在以AE、DF、CF的长为边的直角三角形．
解：（1）过F作FG⊥DC于G，
则∠FGD=∠FGC=90°  
∵正方形ABCD中，BD是对角线，
∴∠BDG=45°，
∵∠FGD=90°，DF=x，
∴FG=DG=

2

2

x，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴GC=1-

2

2

x，
在Rt△FCG中，
CF²=CG²+FG²=（1-

2

2

x）²+（

2

2

x）²=x²-

2

x+1，
∴y=x²-

2

x+1（0＜x＜

2

2

）；
     
（2）延长GF交AB于H，
∵∠A=∠ADG=∠DGH=90°，
∴矩形AHGD，
∴AH=DG=

2

2

x，
∵AE=

2

x，
∴HE=

2

2

x，
∴GF=HE，
CG=FH，
∵∠CGF=∠FHE=90°，
∴Rt△FCG≌Rt△EFH（SAS），
∴FC=FE，

（3）∵AE=

2

DF，
∴DF＜AE，
∴若存在以AE、DF、CF的长为边的直角三角形，则DF不可能为斜边，
①若CF为斜边，则x²+（

2

x）²=x²-

2

x+12x²+

2

x-1=0，
x=

- 2 + 10

4

，x=

- 2 - 10

4

（负值舍去），
②若AE为斜边，则x²+x²-

2

x+1=（

2

x）²，解得：x=

2

2

，
∵0＜x＜

2

2

，
∴舍去
综上所述当x=

- 2 + 10

4

时，存在以AE、DF、CF的长为边的直角三角形．