试题

已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根．
（1）求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

（1）证明：∵△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，
∴△＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2﹚解：当△ABC是以BC为斜边的直角三角形时，有AB²+AC²=BC²
又∵BC=5，两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根．
∴AB²+AC²=25，AB+AC=2k+3，AB·AC=k²+3k+2，
由（AB+AC）²-2AB·AC=25
∴（2k+3）²-2·（k²+3k+2）=25
∴k²+3k-10=0，（k-2）（k+5）=0，
∴k₁=2或k₂=-5
又∵AB+AC=2k+3＞0
∴k₂=-5舍去
∴k=2．
（1）证明：∵△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，
∴△＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2﹚解：当△ABC是以BC为斜边的直角三角形时，有AB²+AC²=BC²
又∵BC=5，两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根．
∴AB²+AC²=25，AB+AC=2k+3，AB·AC=k²+3k+2，
由（AB+AC）²-2AB·AC=25
∴（2k+3）²-2·（k²+3k+2）=25
∴k²+3k-10=0，（k-2）（k+5）=0，
∴k₁=2或k₂=-5
又∵AB+AC=2k+3＞0
∴k₂=-5舍去
∴k=2．