试题

题目：
青果学院已知关于x的方程x2-2（a+b）x+c2+2ab=0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若CD是AB边上的高，AC=2，AD=1，求BD的长．
答案
解：（1）∵两根相等，
∴可得：4（a+b）2-4（c2+2ab）=0，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形；

（2）由（1）可得：AC2=AD×AB，
∵AC=2，AD=1，
∴AB=4，
∴BD=AB-AD=3．
解：（1）∵两根相等，
∴可得：4（a+b）2-4（c2+2ab）=0，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形；

（2）由（1）可得：AC2=AD×AB，
∵AC=2，AD=1，
∴AB=4，
∴BD=AB-AD=3．
考点梳理
射影定理；根的判别式；勾股定理的逆定理．
（1）根据判别式等于0可得出三边的关系，继而可判断出三角形的形状；
（2）结合（1）的结论，利用射影定理即可直接解答．
本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，综合性较强，注意掌握射影定理的运用．
几何综合题．
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