试题

题目：
我们知道，如果一个三角形的三边分别为a、b、c，设P=
a+b+c
2
，则三角形的面积可以表示为S=
p(p-a)(p-b)(p-c)
（海伦公式），也可以表示为S=
1
4
[a2b2-(
a2+b2-c2
2
)2]
（秦九韶公式）两种形式，请选择其中适当的公式求以下三角形的面积S及a上的高
（1）已知a=4，b=5，c=6；
（2）已知a=
5
，b=
6
，c=
7
．
答案
解：（1）∵a=4，b=5，c=6，
∴p=
a+b+c
2
=
4+5+6
2
=7.5，
∴S=
p(p-a)(p-b)(p-c)
=
7.5(7.5-4)(7.5-5)(7.5-6)
=
15
7
4
；
设a上的高为h，则S=
1
2
ah，h=
2S
a
=
2×
15
7
4
4
=
15
7
8
；

（2）S=
1
4
[a2b2-(
a2+b2-c2
2
)2]
=
1
4
[5×6-(
5+6-7
2
)2]
=
26
2
，
∴h=
2S
a
=
2×
26
2
5
=
130
5
．
解：（1）∵a=4，b=5，c=6，
∴p=
a+b+c
2
=
4+5+6
2
=7.5，
∴S=
p(p-a)(p-b)(p-c)
=
7.5(7.5-4)(7.5-5)(7.5-6)
=
15
7
4
；
设a上的高为h，则S=
1
2
ah，h=
2S
a
=
2×
15
7
4
4
=
15
7
8
；

（2）S=
1
4
[a2b2-(
a2+b2-c2
2
)2]
=
1
4
[5×6-(
5+6-7
2
)2]
=
26
2
，
∴h=
2S
a
=
2×
26
2
5
=
130
5
．
考点梳理
二次根式的应用．
（1）根据海伦公式，把a、b、c的值代入公式进行计算即可得解；
（2）根据秦九韶公式，把a、b、c的值代入公式进行计算即可得解．
本题考查了二次根式的应用，读懂题目信息，把数据代入海伦公式与秦九韶公式进行计算即可，比较简单．
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