试题

（2005·台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：s=

1 4 [a2×b2-( a2+b2-c2 2 )2]

…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：
s=

p(p-a)(p-b)(p-c)

…②（其中p=

a+b+c

2

．）
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．

解：（1）S=

1 4 [52×72-( 52+72-82 2 )2]

，
=

1

2

52(72-11)

=

5

2

48

=10

3

；
P=

1

2

（5+7+8）=10，
又S=

10(10-5)(10-7)(10-8)

=

10×5×3×2

=10

3

；
（2）

1

4

[a2b2-(

a2+b2-c2

2

)2]=

1

4

（

4a2b2

4

-

(a2+b2) 2-2(a2+b2)· c2+(c2) 2

4

）
=

1

16

[c2-(a-b)2][(a+b)2-c2]，
=

1

16

（c+a-b）（c-a+b）（a+b+c）（a+b-c），
=

1

16

（2p-2a）（2p-2b）·2P·（2p-2c），
=p（p-a）（p-b）（p-c），
∴

1 4 [a2b2-( a2+b2-c2 2 )]

=

p(p-a)(p-b)(p-c)

．
（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）
解：（1）S=

1 4 [52×72-( 52+72-82 2 )2]

，
=

1

2

52(72-11)

=

5

2

48

=10

3

；
P=

1

2

（5+7+8）=10，
又S=

10(10-5)(10-7)(10-8)

=

10×5×3×2

=10

3

；
（2）

1

4

[a2b2-(

a2+b2-c2

2

)2]=

1

4

（

4a2b2

4

-

(a2+b2) 2-2(a2+b2)· c2+(c2) 2

4

）
=

1

16

[c2-(a-b)2][(a+b)2-c2]，
=

1

16

（c+a-b）（c-a+b）（a+b+c）（a+b-c），
=

1

16

（2p-2a）（2p-2b）·2P·（2p-2c），
=p（p-a）（p-b）（p-c），
∴

1 4 [a2b2-( a2+b2-c2 2 )]

=

p(p-a)(p-b)(p-c)

．
（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）