试题

题目：
（1998·绍兴）已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BD过梯形的高AE的中点F，且BD⊥DC，设AE=h，BC=a．
（1）用含字母h的代数式表示a；
（2）若a、h是关于x的一元二次方程3x2-3（m+2）x+10m=0的两根，求sin∠DBC的值．
答案
青果学院解：（1）根据题意，AD∥BC，且AF=EF；
易得Rt△AFD≌Rt△EFB，故BF=FD，BE=1；且EF=
h
2
；
由勾股定理可得：BF=
1+
h2
4
；又可得AD=2AF；
Rt△BEF与Rt△BDC中，有∠BEF=∠BDC=90°，∠B=∠B；
故Rt△BEF∽Rt△BDC，进而可得
BE
BF
=
BD
BC
；
化简可得：a=2（1+
h2
4
）；即a=2+
h2
2
．

（2）若a、h是关于x的一元二次方程3x2-3（m+2）x+10m=0的两根，
则a+h=m+2，ah=
10m
3
；
又有a=2+
h2
2
；解可得a=20，h=6；
DC=
BC2-BD2
=16；
易得sin∠DBC=
DC
BC
=
4
5
．
青果学院解：（1）根据题意，AD∥BC，且AF=EF；
易得Rt△AFD≌Rt△EFB，故BF=FD，BE=1；且EF=
h
2
；
由勾股定理可得：BF=
1+
h2
4
；又可得AD=2AF；
Rt△BEF与Rt△BDC中，有∠BEF=∠BDC=90°，∠B=∠B；
故Rt△BEF∽Rt△BDC，进而可得
BE
BF
=
BD
BC
；
化简可得：a=2（1+
h2
4
）；即a=2+
h2
2
．

（2）若a、h是关于x的一元二次方程3x2-3（m+2）x+10m=0的两根，
则a+h=m+2，ah=
10m
3
；
又有a=2+
h2
2
；解可得a=20，h=6；
DC=
BC2-BD2
=16；
易得sin∠DBC=
DC
BC
=
4
5
．
考点梳理
根与系数的关系；全等三角形的判定与性质；梯形；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
（1）首先由Rt△AFD≌Rt△EFB，可得BF=FD，BE=1；且EF=
h
2
；且BD=BF；进而可用h表示出BD，BF的长，再根据Rt△BEF∽Rt△BDC，可得
BE
BF
=
BD
BC
；代入h的关系与BC=a可得答案；
（2）由根与系数的关系可得a+h=m+2，ah=
10m
3
；结合（1）的结论，可得a，h的值，进而可得CD的长，再根据三角函数的定义，可得答案．
本题考查梯形，菱形、直角三角形的相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为菱形和直角三角形，从而由菱形和直角三角形的性质来求解．
压轴题．
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