试题

题目：
青果学院（2013·顺义区一模）已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥DC，∠ABD=45°，∠ACD=30°，AD=CD=2
3
，求AC和BD的长．
答案
解：∵BD⊥DC，
∴∠BDC=90°，
∵∠ACD=30°，AD=CD=2
3
，
∴∠DEC=60°，∠DAC=∠ACD=30°，
DE=CD·tan30°=2
3
×
3
3
=2，
∴EC=2DE=4，∠ADE=30°，
∴AE=DE=2，
∴AC=AE+EC=2+4=6，
过点A作AM⊥BD，垂足为M，青果学院
∵∠AEB=∠DEC=60°，
∴AM=AE·sin60°=2×
3
2
=
3
，
ME=AEcos60°=2×
1
2
=1，
∵∠ABD=45°，
∴BM=AM=
3
，
∴BD=BM+ME+DE=
3
+1+2=3+
3
．
解：∵BD⊥DC，
∴∠BDC=90°，
∵∠ACD=30°，AD=CD=2
3
，
∴∠DEC=60°，∠DAC=∠ACD=30°，
DE=CD·tan30°=2
3
×
3
3
=2，
∴EC=2DE=4，∠ADE=30°，
∴AE=DE=2，
∴AC=AE+EC=2+4=6，
过点A作AM⊥BD，垂足为M，青果学院
∵∠AEB=∠DEC=60°，
∴AM=AE·sin60°=2×
3
2
=
3
，
ME=AEcos60°=2×
1
2
=1，
∵∠ABD=45°，
∴BM=AM=
3
，
∴BD=BM+ME+DE=
3
+1+2=3+
3
．
考点梳理
解直角三角形．
通过解直角三角形求出DE长，求出EVC，即可求出AC，过点A作AM⊥BD，垂足为M，求出AM，ME，即可求出BD．
本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解直角三角形的应用，主要考查学生的计算能力．
找相似题