试题

（2013·宿城区一模）如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB=6cm，动点P从A点以

3

cm/s匀速向C点运动，动点Q同时从B点以2cm/s匀速向A点运动，一点运动到终点时另一点也随之停止．

（1）求P点从A点运动到C点需要的时间t；
（2）试求出当t为何值时△APQ为直角三角形？

解：（1）过点C作CD⊥AB于D．设CD=x．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠A=30°，
∴AD=

3

x，AC=2x；
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，∠B=45°，
∴BD=x；
∵AD+BD=AB，
∴

3

x+x=6，
解得x=3

3

-3，
∴AC=2x=6

3

-6，
∵动点P从A点以

3

cm/s匀速向C点运动，
∴P点从A点运动到C点需要的时间t=

6 3 -6

3

=6-2

3

；

（2）由题意，知AP=

3

t，BQ=2t，
∴AQ=AB-BQ=6-2t．
当△APQ为直角三角形时，分两种情况：
①如果∠APQ=90°，cos30°=

AP

AQ

，
∴

3

2

=

3 t

6-2t

，
解得t₁=

3

2

；
②如果∠AQP=90°，cos30°=

AQ

AP

，
∴

3

2

=

6-2t

3 t

，
解得t₂=

4

3

．
因为它们均小于6-2

3

，故都成立．
故当t为

3

2

秒或

4

3

秒时，△APQ为直角三角形．
解：（1）过点C作CD⊥AB于D．设CD=x．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠A=30°，
∴AD=

3

x，AC=2x；
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，∠B=45°，
∴BD=x；
∵AD+BD=AB，
∴

3

x+x=6，
解得x=3

3

-3，
∴AC=2x=6

3

-6，
∵动点P从A点以

3

cm/s匀速向C点运动，
∴P点从A点运动到C点需要的时间t=

6 3 -6

3

=6-2

3

；

（2）由题意，知AP=

3

t，BQ=2t，
∴AQ=AB-BQ=6-2t．
当△APQ为直角三角形时，分两种情况：
①如果∠APQ=90°，cos30°=

AP

AQ

，
∴

3

2

=

3 t

6-2t

，
解得t₁=

3

2

；
②如果∠AQP=90°，cos30°=

AQ

AP

，
∴

3

2

=

6-2t

3 t

，
解得t₂=

4

3

．
因为它们均小于6-2

3

，故都成立．
故当t为

3

2

秒或

4

3

秒时，△APQ为直角三角形．