试题

题目：
（2013·厦门质检）四边形ABCD中，对角线AC、BD的交点为O，
（1）如图1，若AD∥BC，AD=6，BC=4，求
AO
CO
的值；
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，过点B作BE⊥AC，垂足为E，当∠ACB=30°时，有AC=
3
BE+1，求BC的长度．
青果学院
答案
青果学院解：（1）∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△AOD∽△COB，
∴
AO
CO
=
AD
BC
=
6
4
=
3
2
；

（2）设BE=x，在Rt△BEC中，
∵∠ACB=30°，
∴BC=2BE=2x，
在Rt△ABC中，
∵cos∠ACB=
BC
AC
，
∴cos30°=
2x
AC
=
3
2
，
∴AC=
BC
cos30°
=
4x
3
=
4
3
3
x，
又∵AC=
3
BE+1=
3
x+1，
∴
4
3
3
x=
3
x+1，解得x=
3
，
∴BC=2x=2
3
．
青果学院解：（1）∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△AOD∽△COB，
∴
AO
CO
=
AD
BC
=
6
4
=
3
2
；

（2）设BE=x，在Rt△BEC中，
∵∠ACB=30°，
∴BC=2BE=2x，
在Rt△ABC中，
∵cos∠ACB=
BC
AC
，
∴cos30°=
2x
AC
=
3
2
，
∴AC=
BC
cos30°
=
4x
3
=
4
3
3
x，
又∵AC=
3
BE+1=
3
x+1，
∴
4
3
3
x=
3
x+1，解得x=
3
，
∴BC=2x=2
3
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
（1）先根据AD∥BC可知∠ACB=∠DAC，∠ADB=∠DBC，故可得出△AOD∽△COB，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）设BE=x，在Rt△BEC中，由∠ACB=30°可知BC=2BE=2x，在Rt△ABC中由cos∠ACB=
BC
AC
，可用x表示出AC的值，再根据AC=
3
BE+1可得出x的值，进而得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
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