试题

（2003·十堰）已知二次函数y=ax²-5ax+b（a≠0）与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0），与y轴交于点C，其中0＜x₁＜x₂，线段AB的长为3，O为坐标系原点，且有tan∠OAC=2，tan∠OBC=

1

2

，求此二次函数解析式．

解：当x=0时，y=b．
∴C点坐标为（0，b），OC=|b|．
又∵A（x₁，0）B（x₂，0）0＜x₁＜x₂．
∴OA=x₁，OB=x₂；
tan∠OAC=

OC

OA

=

|b|

x1

=2，∴x₁=

|b|

2

；
tan∠OBC=

OC

OB

=

|b|

x2

=

1

2

，∴x₂=2|b|．
∴x₂-x₁=2|b|-

|b|

2

=

3|b|

2

=AB=3，
∴|b|=2，b=±2．
∵抛物线y=ax²-5ax+b（a≠0）与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂；
∴x₁+x₂=5，x₁·x₂=

b

a

，
∴（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=25-

4b

a

=9，
∴a=

b

4

，
∴当b=2时，a=

1

2

，当b=-2时，a=-

1

2

，
∴所求的抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

5

2

x+2或y=-

1

2

x²+

5

2

ax-2，经检验知上述两条抛物线均符合题意．
解：当x=0时，y=b．
∴C点坐标为（0，b），OC=|b|．
又∵A（x₁，0）B（x₂，0）0＜x₁＜x₂．
∴OA=x₁，OB=x₂；
tan∠OAC=

OC

OA

=

|b|

x1

=2，∴x₁=

|b|

2

；
tan∠OBC=

OC

OB

=

|b|

x2

=

1

2

，∴x₂=2|b|．
∴x₂-x₁=2|b|-

|b|

2

=

3|b|

2

=AB=3，
∴|b|=2，b=±2．
∵抛物线y=ax²-5ax+b（a≠0）与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂；
∴x₁+x₂=5，x₁·x₂=

b

a

，
∴（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=25-

4b

a

=9，
∴a=

b

4

，
∴当b=2时，a=

1

2

，当b=-2时，a=-

1

2

，
∴所求的抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

5

2

x+2或y=-

1

2

x²+

5

2

ax-2，经检验知上述两条抛物线均符合题意．