试题

（2008·仙桃）如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为（2，2

3

），∠BCO=60°，OH⊥BC于点H．动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P运动的时间为t秒．
（1）求OH的长；
（2）若△OPQ的面积为S（平方单位）．求S与t之间的函数关系式．并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少；
（3）设PQ与OB交于点M．
①当△OPM为等腰三角形时，求（2）中S的值． 
②探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论．

解：（1）∵AB∥OC
∴∠OAB=∠AOC=90°
在Rt△OAB中，AB=2，AO=2

3

∴OB=4，tan∠ABO=

3

，
∴∠ABO=60°，
∵AB∥OC
∴∠BOC=60°
又∵∠BCO=60°
∴△BOC为等边三角形
∴OH=OBcos30°=4×

3

2

=2

3

；

（2）∵OP=OH-PH=2

3

-t
∴x_p=OPcos30°=3-

3

2

t，
y_p=OPsin30°=

3

-

1

2

t．
∴S=

1

2

·OQ·x_p=

1

2

·t·（3-

3

2

t）
=-

3

4

t2+

3

2

t（0＜t＜2

3

）
即S=-

3

4

(t-

3

)2+

3 3

4

∴当t=

3

时，S_最大=

3 3

4

；

（3）①若△OPM为等腰三角形，则：
（i）若OM=PM，∠MPO=∠MOP=∠POC
∴PQ∥OC
∴OQ=y_p即t=

3

-

t

2

解得：t=

2 3

3

此时S=-

3

4

×(

2 3

3

)2+

3

2

×

2 3

3

=

2 3

3

（ii）若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°，∴∠OQP=45°
过P点作PE⊥OA，垂足为E，则有：EQ=EP
即t-（

3

-

1

2

t）=3-

3

2

t
解得：t=2
此时S=-

3

4

×22+

3

2

×2=3-

3

（iii）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠AOB，∴PQ∥OA
此时Q在AB上，不满足题意．
②线段OM长的最大值为

3

2

．
解：（1）∵AB∥OC
∴∠OAB=∠AOC=90°
在Rt△OAB中，AB=2，AO=2

3

∴OB=4，tan∠ABO=

3

，
∴∠ABO=60°，
∵AB∥OC
∴∠BOC=60°
又∵∠BCO=60°
∴△BOC为等边三角形
∴OH=OBcos30°=4×

3

2

=2

3

；

（2）∵OP=OH-PH=2

3

-t
∴x_p=OPcos30°=3-

3

2

t，
y_p=OPsin30°=

3

-

1

2

t．
∴S=

1

2

·OQ·x_p=

1

2

·t·（3-

3

2

t）
=-

3

4

t2+

3

2

t（0＜t＜2

3

）
即S=-

3

4

(t-

3

)2+

3 3

4

∴当t=

3

时，S_最大=

3 3

4

；

（3）①若△OPM为等腰三角形，则：
（i）若OM=PM，∠MPO=∠MOP=∠POC
∴PQ∥OC
∴OQ=y_p即t=

3

-

t

2

解得：t=

2 3

3

此时S=-

3

4

×(

2 3

3

)2+

3

2

×

2 3

3

=

2 3

3

（ii）若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°，∴∠OQP=45°
过P点作PE⊥OA，垂足为E，则有：EQ=EP
即t-（

3

-

1

2

t）=3-

3

2

t
解得：t=2
此时S=-

3

4

×22+

3

2

×2=3-

3

（iii）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠AOB，∴PQ∥OA
此时Q在AB上，不满足题意．
②线段OM长的最大值为

3

2

．