试题

（2009·上海）已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足

PQ

PC

=

AD

AB

（如图1所示）．
（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；
（2）在图1中，连接AP．当AD=

3

2

，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，

S△APQ

S△PBC

=y，其中S_△APQ表示△APQ的面积，S_△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．

解：（1）∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=∠ABC=90°．
当AD=2时，AD=AB，
∴∠D=∠ABD=45°，
∴∠PBC=∠D=45°．
∵

PQ

PC

=

AD

AB

=

2

2

=1，
∴PQ=PC，
∴∠C=∠PQC=45°，
∴∠BPC=90°．
∴PC=BC·sin45°=3×

2

2

=

3 2

2

．

（2）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠ABC=90°，
∴四边形EBFP是矩形．
∴PF=BE．
又∵∠BAD=90°，
∴PE∥AD，
∴Rt△BEP∽Rt△BAD．
∴

BE

EP

=

BA

AD

=

2

3 2

=

4

3

．
设BE=4k，则PE=3k，
∴PF=BE=4k．
∵BQ=x，
∴AQ=AB-BQ=2-x．
∴S_△AQP=

1

2

AQ·PE=

1

2

（2-x）·3k，S_△BPC=

1

2

BC·PF=

1

2

×3×4k=6k．
∵

S△AQP

S△BPC

=y，
∴

1 2 (2-x)·3k

6k

=y，
即y=-

1

4

x+

1

2

．
过D作BC的垂线DM，在直角△DCM中，DC=

DM2+CM2

=

22+1.52

=

5

2

．
当P在D点时，x最大，则PC=DC=

5

2

，而

PQ

PC

=

AD

AB

，得PQ=

15

8

，利用勾股定理得到AQ=

9

8

，所以此时BQ=

7

8

∴0≤x≤

7

8

．

（3）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠ABC=90°，
∴四边形EBFP是矩形．
∴PF=BE，∠EPF=90°．
又∵∠A=90°，
∴PE∥AD．
∴Rt△BEP∽Rt△BAD．
∴

BE

BA

=

EP

AD

，
∴

BE

EP

=

BA

AD

．
∴

PF

EP

=

AB

AD

．
又∵

PC

PQ

=

BA

AD

，
∴

PF

PE

=

PC

PQ

．
∴Rt△PCF∽Rt△PQE，
∴∠EPQ=∠FPC．
∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°，
∴∠FPC+∠QPF=90°，
即∠QPC=90°．
解：（1）∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=∠ABC=90°．
当AD=2时，AD=AB，
∴∠D=∠ABD=45°，
∴∠PBC=∠D=45°．
∵

PQ

PC

=

AD

AB

=

2

2

=1，
∴PQ=PC，
∴∠C=∠PQC=45°，
∴∠BPC=90°．
∴PC=BC·sin45°=3×

2

2

=

3 2

2

．

（2）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠ABC=90°，
∴四边形EBFP是矩形．
∴PF=BE．
又∵∠BAD=90°，
∴PE∥AD，
∴Rt△BEP∽Rt△BAD．
∴

BE

EP

=

BA

AD

=

2

3 2

=

4

3

．
设BE=4k，则PE=3k，
∴PF=BE=4k．
∵BQ=x，
∴AQ=AB-BQ=2-x．
∴S_△AQP=

1

2

AQ·PE=

1

2

（2-x）·3k，S_△BPC=

1

2

BC·PF=

1

2

×3×4k=6k．
∵

S△AQP

S△BPC

=y，
∴

1 2 (2-x)·3k

6k

=y，
即y=-

1

4

x+

1

2

．
过D作BC的垂线DM，在直角△DCM中，DC=

DM2+CM2

=

22+1.52

=

5

2

．
当P在D点时，x最大，则PC=DC=

5

2

，而

PQ

PC

=

AD

AB

，得PQ=

15

8

，利用勾股定理得到AQ=

9

8

，所以此时BQ=

7

8

∴0≤x≤

7

8

．

（3）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠ABC=90°，
∴四边形EBFP是矩形．
∴PF=BE，∠EPF=90°．
又∵∠A=90°，
∴PE∥AD．
∴Rt△BEP∽Rt△BAD．
∴

BE

BA

=

EP

AD

，
∴

BE

EP

=

BA

AD

．
∴

PF

EP

=

AB

AD

．
又∵

PC

PQ

=

BA

AD

，
∴

PF

PE

=

PC

PQ

．
∴Rt△PCF∽Rt△PQE，
∴∠EPQ=∠FPC．
∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°，
∴∠FPC+∠QPF=90°，
即∠QPC=90°．