试题

题目：
青果学院（2012·封开县一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若AC、DE交于点O，四边形ADCE的面积为16
3
，CD=4，求∠AOD的度数．
答案
（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB=DE，AE=BD．
∵D为BC中点，
∴CD=BD．
∴CD∥AE，CD=AE．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．

（2）解：∵平行四边形ADCE是矩形，四边形ADCE的面积为16
3
，CD=4，
∴AD·CD=4AD=16
3
，青果学院DO=AO=CO=EO，
解得：AD=4
3
，
∴tan∠DAC=
CD
AD
=
4
4
3
=
3
3
，
∴∠DAC=30°，
∴∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°．
（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB=DE，AE=BD．
∵D为BC中点，
∴CD=BD．
∴CD∥AE，CD=AE．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．

（2）解：∵平行四边形ADCE是矩形，四边形ADCE的面积为16
3
，CD=4，
∴AD·CD=4AD=16
3
，青果学院DO=AO=CO=EO，
解得：AD=4
3
，
∴tan∠DAC=
CD
AD
=
4
4
3
=
3
3
，
∴∠DAC=30°，
∴∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°．
考点梳理
矩形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；解直角三角形．
（1）已知四边形ABDE是平行四边形，只需证得它的一个内角是直角即可；在等腰△ABC中，AD是底边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得∠ADC是直角，由此得证．
（2）根据矩形的性质得出AD的长度，进而得出∠DAC=30°即可求出答案．
此题主要考查了矩形的判定与性质以及等腰三角形三线合一的性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．
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