如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D在边AB上，DE平分∠CDB交边BC于E，EM是线段BD的垂直平分线．（1）求证：frac{CD}{BC}=frac{BE}{BD}；-青果题库-青果学院

题目：

（2012·虹口区一模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D在边AB上，DE平分∠CDB交边BC于E，EM是线段BD的垂直平分线．
（1）求证：

CD

BC

=

BE

BD

；
（2）若AB=10，cosB=

4

5

，求CD的长．

答案

（1）证明：∵EM是线段BD的垂直平分线，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠B，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE=∠EDB，
∴∠CDE=∠B，
∵∠DCE=∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴

CD

BC

=

DE

BD

，
∵ED=EB，
∴

CD

BC

=

BE

BD

；

（2）解：∵∠ACB=90°，AB=10，cosB=

4

5

，
∴AC=6，BC=8，
∵EM是线段BD的垂直平分线，
∴DM=BM，
∴

CD

BC

=

BE

BD

=

BE

2BM

，
∴

CD

8

=

BE

2BM

，
即CD=

4BE

BM

，
∵cosB=

BM

BE

=

4

5

，
∴CD=4×

5

4

=5．
（1）证明：∵EM是线段BD的垂直平分线，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠B，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE=∠EDB，
∴∠CDE=∠B，
∵∠DCE=∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴

CD

BC

=

DE

BD