试题

（2013·丹阳市二模）四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n．
（1）当AC⊥BD时（如图1），请证明，四边形ABCD的面积S=

1

2

mn；
（2）当AC、BD所夹的锐角为θ时（如图2），猜想四边形ABCD的面积S与m、n、θ的关系，并证明．

（1）证明：如图1，AC与BD的垂足为O点，
∵AC⊥BD，
∴S_△ABD=

1

2

AO·BD，S_△CBD=

1

2

CO·BD，
∴四边形ABCD的面积=S_△ABD+S_△CBD=

1

2

AO·BD+

1

2

CO·BD=

1

2

BD·（AO+CO）=

1

2

BD·AC=

1

2

mn；

（2）解：作AH⊥BD于H点，CP⊥BD于P点，AC与BD交于E点，如图2，
在RtAEH中，sinθ=

AH

AE

，即AH=AE·sinθ，
在RtCPE中，sin∠PEC=

PC

CE

，PC=CE·sin∠PEC=CE·sinθ，
∵S_△ABD=

1

2

AH·BD，S_△CBD=

1

2

CP·BD，
∴四边形ABCD的面积S=S_△ABD+S_△CBD=

1

2

AH·BD+

1

2

CP·BD=

1

2

AE·sinθ·BD+

1

2

CE·sinθ·BD=

1

2

BD·（AE+CE）·sinθ=

1

2

BD·AC·sinθ=

1

2

m·n·sinθ．
（1）证明：如图1，AC与BD的垂足为O点，
∵AC⊥BD，
∴S_△ABD=

1

2

AO·BD，S_△CBD=

1

2

CO·BD，
∴四边形ABCD的面积=S_△ABD+S_△CBD=

1

2

AO·BD+

1

2

CO·BD=

1

2

BD·（AO+CO）=

1

2

BD·AC=

1

2

mn；

（2）解：作AH⊥BD于H点，CP⊥BD于P点，AC与BD交于E点，如图2，
在RtAEH中，sinθ=

AH

AE

，即AH=AE·sinθ，
在RtCPE中，sin∠PEC=

PC

CE

，PC=CE·sin∠PEC=CE·sinθ，
∵S_△ABD=

1

2

AH·BD，S_△CBD=

1

2

CP·BD，
∴四边形ABCD的面积S=S_△ABD+S_△CBD=

1

2

AH·BD+

1

2

CP·BD=

1

2

AE·sinθ·BD+

1

2

CE·sinθ·BD=

1

2

BD·（AE+CE）·sinθ=

1

2

BD·AC·sinθ=

1

2

m·n·sinθ．