试题

（2013·河西区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在AC上（点E与A、C都不重合），点F在斜边AB上（点F与A、B都不重合）．
（Ⅰ）若EF平分Rt△ABC的周长，设AE=x，△AEF的面积为y，写出y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（Ⅱ）试问：是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5
∴三角形ABC的周长为12，又因EF平方三角形ABC的周长，
∴AE+AF=6，而AE=x，
∴AF=6-x
过点F作FD⊥AC于D
则

DF

AF

=sinA=

BC

AB

=

4

5

∴

DF

6-x

=

4

5

∴DF=

4

5

(6-x)
所以y=

1

2

AE·DF=

1

2

x·

4

5

(6-x)=-

2

5

x²+

12

5

x（1＜x＜3）

（Ⅱ）这样的EF存在，
S△ABC=

1

2

BC·AC=

1

2

×4×3=6
∵EF平分△ABC的面积，
所以-

2

5

x²+

12

5

x=3
解得：x=

6± 6

2

∵1＜x＜3
∴x取

6+ 6

2

∴6-x=6-

6+ 6

2

=

6- 6

2

＜5
符合题意，所以这样的EF存在，此时AE=

6+ 6

2

．
解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5
∴三角形ABC的周长为12，又因EF平方三角形ABC的周长，
∴AE+AF=6，而AE=x，
∴AF=6-x
过点F作FD⊥AC于D
则

DF

AF

=sinA=

BC

AB

=

4

5

∴

DF

6-x

=

4

5

∴DF=

4

5

(6-x)
所以y=

1

2

AE·DF=

1

2

x·

4

5

(6-x)=-

2

5

x²+

12

5

x（1＜x＜3）

（Ⅱ）这样的EF存在，
S△ABC=

1

2

BC·AC=

1

2

×4×3=6
∵EF平分△ABC的面积，
所以-

2

5

x²+

12

5

x=3
解得：x=

6± 6

2

∵1＜x＜3
∴x取

6+ 6

2

∴6-x=6-

6+ 6

2

=

6- 6

2

＜5
符合题意，所以这样的EF存在，此时AE=

6+ 6

2

．